Co m pu t er   Science  a nd   I nfo r m a t io n T ec hn o lo g ies   Vo l.  6 ,   No .   1 Ma r c h   20 25 ,   p p .   1 ~ 7   I SS N:  2722 - 3 2 2 1 DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /csi t . v6 i 1 . pp1 - 7          1     J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s p r ime. co m/in d ex . p h p /csi t   M a trix  invers io n   using  multiple - in put  mul tiple - o utp ut  a da ptive  filt ering       M uh a m m a d Ya s ir  Sid di qu Anj um 1 ,   J a v ed  I qb a l 2   1 D e p a r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g ,   F a c u l t y   o f   E n g i n e e r i n g   a n d   C o m p u t i n g ,   N a t i o n a l   U n i v e r s i t y   o f   M o d e r n   L a n g u a g e s ,   I s l a m a b a d ,   P a k i s t a n   2 D e p a r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g ,   M i l i t a r y   C o l l e g e   o f   S i g n a l s ,   N a t i o n a l   U n i v e r s i t y   o f   S c i e n c e   &   T e c h n o l o g y ,   I s l a m a b a d ,   P a k i s t a n       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ap r   2 0 ,   2 0 2 4   R ev is ed   J an   1 0 ,   2 0 2 5   Acc ep ted   Feb   2 0 ,   2 0 2 5       n e a p p ro a c h   fo m a tri x   i n v e rsio n   is  in t ro d u c e d .   T h e   a p p ro a c h   is  b a se d   o n   v e c to re p re se n tatio n   o m u lt i p le - in p u m u l ti p le - o u t p u ( M IM O)  c h a n n e m a tri x ,   in   w h ich   t h e   c h a n n e m a tri x   is  d e sc rib e d   b y   a   li n e a c o m b in a ti o n   o f   c h a n n e v e c to rs   we ig h te d   b y   t h e ir  re sp e c ti v e   s y ste m   in p u ts.   T h e   M I M sy ste m   o u tp u is  t h e n   fe d   in t o   a   b a n k   o a d a p t iv e   fil ters ,   w h e re in   th e   re sp o n se   o a   g i v e n   a d a p ti v e   fi lt e is  it e ra ti v e ly   m in imiz e d   t o   m a tch   it o u t p u t o   th e   g i v e n   sy ste m   in p u t .   In   d o in g   so ,   a d a p t iv e   fil ters   e q u a li z e   th e   imp a c o re sp e c ti v e   c h a n n e v e c to rs  o n   th e   M IM c h a n n e o u t p u t,   wh il e   sim u lt a n e o u sl y   o rt h o g o n a li z in g   t h e m se lv e fro m   a ll   o th e c h a n n e v e c to rs,  fo rm in g   th e   c h a n n e m a tri x   in v e rse .   Th e   m e th o d   d e m o n stra tes   sa ti sfa c to ry   c o n v e rg e n c e   a n d   a c c u ra c y   i n   M o n te   Ca rlo   sim u lati o n s   c o n d u c ted   wit h   v a ry in g   sig n a l - to - n o ise   ra ti o s (S NRs a n d   m a tri x   c o n d it i o n i n g   sc e n a rio s.  Th e   su g g e ste d   a p p ro a c h ,   b y   v irt u e   o it a d a p tab le   c h a ra c teristics ,   c a n   a lso   b e   e m p lo y e d   f o t ime - v a ry in g   li n e a e q u a ti o n   sy ste m s.   K ey w o r d s :   Ad ap tiv e   I n v er s io n   Ma tr ix   M u ltip le - in p u t m u ltip le - o u tp u t   No n - s tatio n ar y   N o r m alize d   least m ea n   s q u ar e s   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Mu h am m ad   Yasir  Sid d iq u A n ju m   Dep ar tm en t o f   E lectr ical  E n g i n ee r in g ,   Facu lty   o f   E n g in ee r in g   an d   C o m p u tin g   Natio n al  Un iv er s ity   o f   Mo d er n   L an g u ag es   Secto r   H - 9 ,   I s lam ab a d   C ap ital T er r ito r y   4 4 0 0 0 ,   Pak is tan   E m ail:  y asir. s id d iq u e@ n u m l.e d u . p k       1.   I NT RO D UCT I O N   Ad ap tiv f ilter in g   is   an   im p o r tan b r an c h   o f   d ig ital  s ig n al  p r o ce s s in g .   Ov er   th e   y ea r s ,   it   h as  f o u n d   ap p licatio n s   in   m a n y   ar ea s   o f   s cien ce   an d   e n g in ee r i n g ,   i n clu d in g   m o b ile  telec o m m u n icati o n   s y s tem s   [ 1 ] [ 3 ] d ee p   lear n i n g   s y s tem s   [ 4 ] ,   [ 5 ] ,   r a d ar   s y s te m s   [ 6 ] ,   [ 7 ] ,   g eo p h y s ics  [ 8 ] ,   [ 9 ] ,   r a d io lo g y   [ 1 0 ] ,   [ 1 1 ] ,   im a g p r o ce s s in g   [ 1 2 ] ,   s p ee c h   ap p li ca tio n s   [ 1 3 ] [ 1 6 ] ,   an d   p o wer   en g in ee r in g   [ 1 7 ] [ 1 9 ] .   T h is   ca n   b attr ib u ted   to   th ad v an ta g es  o f   a d ap tiv f ilter s   in   ter m s   o f   r ea l - tim ad a p tatio n ,   n o is r ejec tio n ,   r o b u s tn ess ,   co n v er g e n ce   s p ee d ,   an d   ef f icien c y   [ 2 0 ] .   Ho wev er ,   th ap p licatio n   o f   a d ap tiv f ilter in g   h as   b ee n   lar g ely   r estricte d   to   s in g le - in p u t sin g le - o u tp u t sy s tem s .   Mu ltip le - in p u t m u ltip le - o u tp u ( MI MO )   s y s tem s   ar is i n   im p o r tan t   ar ea s   o f   s cien ce   an d   e n g in ee r in g ,   e. g . ,   MI MO   wir eless   co m m u n icatio n   s y s tem s   [ 2 1 ] ,   MI MO   c o n tr o s y s tem s   [ 2 2 ] ,   an d   MI M ac o u s tic  s y s tem s   [ 2 3 ] .   MI MO   s y s tem s   ca n   b e   r ep r esen ted   b y ,   o r   r e d u ce d   to ,   s et  o f   lin ea r   eq u atio n s   th at   d escr ib th e   s y s tem   r esp o n s to   m u ltip le  i n p u ts .   T h s y s tem   o f   lin ea r   eq u atio n s   n ee d s   to   b e   s o lv ed   in   o r d er   to   p er f o r m   th e   n ec ess ar y   f u n ctio n .   Ad ap tiv e   f ilter s   ca n   lev er ag th eir   v er s at ilit y   to   MI MO   s y s tem s   in   s o lv in g   s u ch   s y s tem   o f   lin ea r   eq u atio n s   b y   c o m p u tin g   th e   in v er s e   o f   th M I MO   ch an n el  m atr ix .   T h is   wo r k   p r o v id es  a   p r o o f - of - co n ce p t b y   p r esen tin g   n o v el  iter ativ m eth o d ,   b ased   o n   b an k   o f   ad ap tiv f ilter s ,   f o r   m at r ix   in v er s io n   in   th e   co n tex t o f   MI MO   wir eless   co m m u n icatio n   s y s tem s .   T h m eth o d   is   b ased   o n   th p r o p o s ed   v ec t o r   r ep r esen tatio n   o f   th MI MO   ch an n el  m atr i x ,   wh er ein   th ch an n el  m atr ix   is   d escr ib ed   b y   lin ea r   co m b in atio n   o f   ch a n n el  v ec to r s   weig h te d   b y   th eir   r esp ec tiv e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 3 2 2 1   C o m p u t Sci  I n f   T ec h n o l ,   Vo l.  6 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 5 1 - 7   2   s y s tem   in p u ts .   T h s y s tem   o u tp u ca n   th e n   b f e d   in to   b an k   o f   ad ap tiv f ilter s ,   wh er th r esp o n s o f   a   g iv en   ad a p tiv f ilter   is   iter ativ ely   m in im ized   to   m atch   its   o u tp u to   t h g iv e n   s y s tem   in p u t.  I n   d o in g   s o ,   a   g iv en   a d ap tiv f ilter   eq u alize s   th im p ac o f   t h r esp ec tiv ch an n el   v ec to r   o n   th e   MI MO   ch an n el  o u tp u t,   wh ile  s im u ltan eo u s ly   o r th o g o n alizin g   its elf   f r o m   all  o th e r   c h an n el  v ec to r s .   T h co llectiv e   r esp o n s v ec to r s   o f   all  ad ap tiv f ilter s   f o r m   th ch an n el  m atr ix   in v er s e.   T h p r o p o s ed   m eth o d   is   n o v el.   As  p r o o f   o f   co n ce p t,  its   ef f icac y   is   ev alu ated   v ia  M o n te  C ar lo   s im u latio n s   f o r   r an g o f   s ig n al - to - n o is r atio   ( SNR )   an d   m atr ix   co n d itio n s .   Simu latio n   r e s u lts   s h o th at  th e   p r o p o s ed   m eth o d   ac h iev es  g o o d   c o n v er g en ce   an d   ac cu r a cy   p r o p er ties .   Fu r th er ,   th m eth o d   h as  an   a d d ed   ad v an tag th at,   d u to   its   ad ap tiv ab ilit y ,   it  ca n   u p d ate  th m atr ix   in v er s if   th s y s tem   d r if ts   o v er   tim e,   f o r   ex am p le,   in   n o n - s tatio n ar y   ch an n el  co n d itio n s   [ 2 4 ] .       2.   T H E O RY   2 . 1 .     Sy s t e m   mo del   C o n s id er   MI MO   s y s tem   wit h   d im en s io n s   × ,   with     r ep r esen tin g   th n u m b er   o f   tr a n s m it   n o d es  an d     th n u m b er   o f   r ec eiv n o d es,  s u ch   th at  = .   T h e   in p u s ig n al  v ec t o r   x [ ]   p ass es  th r o u g h   th ch an n el  a n d   is   m u ltip lied   b y   ch a n n el  m atr ix   H   to   g en er a te  th o u tp u t sig n al  v ec to r   y [ ] .     y [ ] = Hx [ ] + v [ ]   ( 1 )     W h er x [ ] = [ ( ) 1 ( ) 1   ( ) ] y [ ] = [ ( ) 1 ( ) 1   ( ) ] ,   an d     v [ ] = [ ( ) 1 ( ) 1   ( ) ]   ar co lu m n   v ec to r s   o f   d im en s io n   × 1 ,   with   ( )   an d   ( )   r esp ec tiv ely   in d icatin g   t h s i g n al  tr a n s m itted   o n   a n d   r ec ei v ed   at   th e   - th   n o d at   th e   tim in s tan v [ ]   r ep r esen ts   th n o is v ec t o r   w ith   s tatis tica ch ar ac ter izatio n   ( 0 , 2 I )   with   I   b ein g   th id e n tity   m a tr ix .   T h ch an n el  m atr ix   H   is   o f   d im en s io n s   o f   × ,   an d   is   d escr ib ed   as   ( 2 ) :     H = [       00 01 0 ( 1 ) 10 11 1 ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ]         ( 2 )     I n   ( 1 )   ca n   b r ea r r an g e d   as   ( 3 ) :     y [ ] = [ 0 1 ( 1 ) ] 1 = 0 ( ) + v [ ]   ( 3 )     w i t h   = 0 , 1 , , 1 .   A n   e s ti m a t e   o f   ( )   c a n   b e   it e r a t i v el y   o b t a i n e d   f r o m   y [ ]   b y   u s i n g   a n   a d a p t i v e   f i l t e r   ( F i g u r e   1 ) .     s u c h   a d a p t i v e   f i l t e r   b l o c k s   c a n   b u s e d   t o   o b ta i n   an   e s t i m a t e   o f   x [ ]   f r o m   y [ ] ,   w i t h   f i l t e r   w e i g h ts   o f   t h e   b l o c k s   m i n i m iz i n g   t h e   im p a c t   o f   c h a n n e l   m a t r i x   H   on  y [ ]   b y   e f f e c t i v e l y   a ct i n g   a s   a n   i n v e r s e   o f   H .           Fig u r 1 .   T h - th   ad ap tiv f ilter   b lo ck   f o r   c o m p u tatio n   o f   m a tr ix   in v er s e.   T h er ar   s u ch   b l o ck s .       r ep r esen ts   th s q u ar e   m atr ix   s ize   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
C o m p u t Sci  I n f   T ec h n o l     I SS N:   2722 - 3 2 2 1       Ma tr ix  in ve r s io n   u s in g   mu ltip le - in p u t m u ltip le - o u tp u a d a p tive    ( Mu h a mma d   Ya s ir   S id d iq u A n ju m )   3   2 . 2 .     M I M O   a da ptiv f ilte r   Fo r   g iv en   v alu o f   ,   in   o r d e r   to   o b tain   an   esti m ate  ̂ ( )   o f   ( ) ,   an   ad ap tiv f ilter   b lo ck   ( Fig u r 1 )   ca n   b cr ea ted   with   weig h t v ec to r   w = [ 0 , 1 , , 1   ] ,   s o   th at  th - th   ad ap tiv f ilter   o u tp u ( )   is :       ̂ ( ) = w y [ ]   ( 4 )     Mean   s q u ar ed   e r r o r   ( MSE )   b et wee n   th f ilter   o u tp u ̂ ( )   an d   th d esire d   o u tp u ( )   is   d ef in ed   as  (5 [ 2 5 ] :     { 2 ( ) } = 2 2 w p + w R w   ( 5 )     with   er r o r   ( ) = ( ) ( ) 2 = { 2 ( ) }   r ep r esen ts   th p o wer   o f   th e   - th   d esire d   s ig n al  ( ) × 1   cr o s s - co r r elatio n   v ec to r ,   p ,   b et wee n   f ilter   in p u t a n d   d esire   o u tp u t is d ef in ed   as   ( 6 ) :     p = [ 0 ( ) 1 ( ) ( 1 )   ( ) ]   ( 6 )     with    ( ) = { ( ) ( ) }   an d   = 0 , 1 , , 1 ×     au to c o r r elatio n   m atr ix   R   o f   t h f ilter   in p u y [ ]   is   d ef in ed   as   ( 7 ) :       R = [       00 ( ) 01 ( ) 0 ( 1 ) ( ) 10 ( ) 11 ( ) 1 ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ]         ( 7 )     s u ch   th at   ( ) = { ( ) ( ) } .   Gr ad ie n o f   MSE   t ak en   with   r esp ec to   th f ilter   weig h ts ,   ,   lead s   to   th e   W ien er - Ho p f   eq u atio n   [ 2 5 ] :     w o p t = R 1 p   ( 8 )     with     b ein g :     = 2 p + R w   (9 )     Fo r   = 0 , 1 , , 1 :     W  = R 1 P   ( 1 0 )     s u ch   th at  W o p t = [ w o p t 0 , w o p t 1 , , w o p t 1 ]   an d   P o p t = [ p 0 , p 1 , , p 1 ] W ,   wh ich   a ttem p ts   to   ac h iev e   a   m in im u m   MSE   esti m ate  o f   x [ ]   f r o m   y [ ]   b y   m in im izin g   th e   im p ac t   o f   H   o n   th latter ,   ef f ec tiv el y   a cts  as  an   in v er s o f   H .   I ter ativ co m p u tat io n   o f   W o p t   is   d is cu s s ed   in   n ex t sectio n .     2 . 3 .     I t er a t iv i m plem ent a t io n   s tar tin g   ch o ice  f o r   c o m p u ti n g   W o p t   iter ativ ely   ca n   b th Steep est  Descen alg o r ith m   [ 2 5 ]   d u to   th s im p licity   o f   th f o r m :     w [ + 1 ] = w [ ]   ( 1 1 )       r ep r esen ts   alg o r ith m s   iter atio n   s tep - s ize.   Su b s titu tin g   th v alu o f   t h g r a d ien f r o m   ( 9 )   in   ( 1 1 ) ,   an d   r ea r r an g i n g   lead s   to :     w [ + 1 ] = w [ ] + 2 y [ ] ( )   ( 1 2 )     I n   ( 1 2 )   r ep r esen ts   f am o u s   lea s m ea n   s q u ar es  ( L MS)   alg o r ith m   [ 2 5 ] .   co n ce r n   in   th im p lem en tatio n   o f   L MS  alg o r ith m   is   th ch o ice  o f   .   L ar g v alu o f     m ay   lead   to   f aster   co n v er g en ce   b u p o o r   ac cu r ac y .   Sm all  v alu o f     m ay   lead   to   h ig h er   a cc u r ac y   b u t   s lo wer   co n v er g en ce .   On wa y   to   o v er co m e   th e   is s u is   to   m ak e     in v er s ely   p r o p o r tio n al  to   th e   in p u s ig n al  en er g y ,   wh ich   in   th is   ca s i s   y [ ] y [ ] .   T h is   lead s   to   th e   n o r m alize d   least m ea n   s q u ar es  ( NL MS)   alg o r ith m   [ 2 5 ] :     w [ + 1 ] = w [ ] + 1 y [ ] y [ ] y [ ] ( )   ( 1 3 )     Fo r   = 0 , 1 , , 1   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 3 2 2 1   C o m p u t Sci  I n f   T ec h n o l ,   Vo l.  6 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 5 1 - 7   4   W [ + 1 ] = W [ ] + 1 y [ ] y [ ] y [ ] e [ ]   ( 1 4 )     with   e [ ] = [ 0 ( ) , 1 ( ) , , 1 ( ) ] .       3.   M E T H O DS   Simu latio n s   wer p e r f o r m ed   f o r   d eter m in in g   th e   ef f ica cy   o f   th e   p r o p o s ed   m eth o d .   5 × 5   au to co r r elatio n   m atr ix   o f   th e   f ir s t - o r d e r   au t o r eg r ess iv p r o ce s s ,   AR ( 1 ) ,   is   u s ed   f o r   s i m u latin g   th e   MI MO   ch an n el  m atr ix   H .   5 × 5   m atr ix   r esu lts   in   f iv ad ap tiv f ilter   b lo ck s ,   i.e . ,   = 0 , 1 , , 4 .   Fiv ty p o f   s im u latio n s   wer p er f o r m ed .   I n   th f ir s t stag e,   f ilter   weig h ts   w [ ]   in   ( 1 3 ) ,   r ep r esen tin g   f ir s t - r o w   esti m ates   o f   W ,   wer co m p u ted ,   o v er laid   an d   d is p lay ed   as  f u n ctio n   o f   th e   iter atio n s   p er f o r m ed   b y   th N L MS  alg o r ith m   as  s h o wn   in   Fig u r e   2 .   I n   t h s ec o n d   s tag e,   s q u ar o f   th e   er r o r   ter m   e [ ]   in   ( 1 4 ) ,   r ep r esen tin g   th in d iv id u al   er r o r   esti m ates  b etwe en   th r esp ec tiv d e s ir ed   o u tp u ts   ( )   an d   th esti m ated   o u tp u ts   ̂ ( ) ,   wer e   co m p u ted ,   o v e r laid   an d   p r ese n ted   as  f u n ctio n   o f   NL MS  iter atio n s   as  p r esen ted   in   Fig u r 3 .   I n   th th ir d   s tag e,   elem en t - wis MSE   b etwe en   r esp ec tiv r o ws  o f   W [ ]   in   ( 1 4 )   an d   th o s o f   a n   ex ac m a tr ix   in v er s wer co m p u ted ,   o v er laid   a n d   d is p lay ed   as  f u n ctio n   o f   n u m b er   o f   NL MS  iter atio n s   d is p lay e d   in   Fig u r 4 .   First,  s ec o n d ,   an d   th ir d   s tag s im u la tio n s   wer p er f o r m ed   at  SNR   o f   6 0   d B   an d   o n Mo n te  C ar l o   n o is r u n .   I n   th e   f o u r th   s tag e,   elem e n t - wis MSE   b etwe en   th W [ ]   in   ( 1 4 )   an d   t h ex ac m atr ix   in v e r s was  co m p u ted   a n d   d is p lay ed   as  f u n ctio n   o f   SNR   r an g in g   f r o m   0   to   1 0 0   d B   in   th in cr em en ts   o f   u n ity ,   with   = 110   an d   1 0 0   Mo n te  C ar lo   r u n s   f o r   n o is s im u latio n   as  s h o w n   in   Fig u r e   5 .   First  f o u r   s im u lat io n s   wer ca r r ied   o u t   with   = 0 . 4 .   I n   th f if th   s tag e,   f o u r   s im u l atio n s   wer p er f o r m ed   f o r   α   r an g in g   f r o m   0 . 2   t o   0 . 8   in   in c r em en ts   o f   0 . 2 r esu lts   wer o v er laid   a n d   d is p lay e d   in   Fig u r 6 .   All  s im u latio n s   wer p er f o r m ed   in   MA T L AB   ( Ma th wo r k s ,   Natick ,   MA ,   US A )   u s in g   in - h o u s wr itten   s cr i p ts .           Fig u r 2 .   Fil ter   weig h ts   w [ ]   in   ( 1 3 )   with   = 0 ,   d ep ictin g   f ir s t - r o esti m ates o f   in v er s m atr ix   W           Fig u r 3 .   Sq u ar ed   NL MS - er r o r   ter m   e [ ]   in   ( 1 4 )   s h o win g   al g o r it h m   co n v er g e n ce   p r o p er ties   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
C o m p u t Sci  I n f   T ec h n o l     I SS N:   2722 - 3 2 2 1       Ma tr ix  in ve r s io n   u s in g   mu ltip le - in p u t m u ltip le - o u tp u a d a p tive    ( Mu h a mma d   Ya s ir   S id d iq u A n ju m )   5         Fig u r 4 .   E lem e n t - wis MSE   b etwe en   r esp ec tiv r o ws o f   W   an d   H 1     Fig u r 5 .   E lem e n t - wis MSE   b etwe en   W   an d   H 1 co m p u ted   f o r   r an g o f   SNR   v alu es         4.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O N   Fig u r e   2   d is p lay s   r ap id   c o n v e r g en ce   p r o p er ties   o f   r ep r esen t ativ esti m ates  o f   th f ir s ad ap tiv f ilter   b lo ck .   Ad a p tiv f ilter   esti m ates  co n v er g t o   ac tu al  v alu es  i n   n ea r ly   less   th an   s ev en ty   ite r atio n s .   Als o ,   o n ce   th e   esti m ates  co n v er g e,   th e y   d o   n o d iv er g o r   o s cillate  ar o u n d   t h co n v er g e d   v alu es.  F ig u r 3   s h o ws  th r o w - wis s q u ar ed   NL MS - er r o r ,   wh ich   d em o s n tr ates  th at  th e   NL MS,   em p lo y ed   as   an   o p ti m izatio n   alg o r ith m   to   co m p u te  th esti m ates,  r em ain s   s tab le  an d   d o es n o t d iv er g o r   o s cillate.   T h is   ca n   b attr ib u ted   to   th ab ilit y   o f   th NL MS  alg o r ith m   to   ad ju s its   s tep - s ize  ac co r d in g   to   th in p u s ig n al  en er g y   [ 2 5 ] .   NL MS  r ed u ce s   th s tep - s ize  to   av o id   th g r ad ie n n o is e,   if   th er r o r   is   s m all;  an d   if   th er r o r   is   lar g e,   N L MS  in cr ea s es  th   st ep - s ize  to   av o id   co n v er g e n c lag   [ 2 5 ] .   I n   a d d itio n ,   th in s tan tan eo u s   s q u ar e d   er r o r   r ea c h es  v alu o f   1 0 - 6   at  th en d   o f   t h eig h tieth   iter at io n .   T h is   ca n   b v is u alize d   in   Fig u r 4 ,   f o r   all  r o ws  o f   th e   co m p u ted   i n v er s e   m atr ix ,   wh er e in   th elem en t - wis MSE   o f   th r o ws  r ea ch e s   th th r esh o ld   o f   1 0 - 6 ,   also   at   ar o u n d   th ei g h tieth   iter atio n .   Fig u r es   2   to   4   s h o th co n v er g en ce   an d   ac cu r ac y   p r o p er ties   o f   t h alg o r ith m   at  SNR =6 0   d B ,   wh er ea s   Fig u r 5   s h o ws  th e   co n v e r g en ce   an d   ac cu r ac y   p r o p er ties   o f   th m eth o d   f o r   an   SNR   r an g o f     0 - 1 1 0   d B .   Up   to   6 0   d B ,   th a lg o r ith m   d is p lay s   n eg ativ e   l o g - lin ea r   tr en d   b etwe en   th e   MSE   an d   t h SNR ,   an d   th e   MSE   en ter s   a   s tead y - s tate  at  n ea r ly   a r o u n d   6 0   d B ,   with o u d is p lay in g   an y   f u r t h er   r e d u ctio n .   T h is   b eh av io r   b ec o m es  m ar k ed   in   Fig u r 6 ,   wh er th r esu lts   ar o v er laid   f o r   d if f er en co n d itio n   n u m b e r s   o f   H Fo r   =0 . 2 ,   w h er t h c o n d itio n   n u m b er   o f   H   is   2 . 0 1 ,   MSE   co n tin u es  to   d ec r ea s l o g - lin ea r l y   with   in cr ea s in   SNR ,   r ea ch in g   n ea r ly   1 0 - 10   at  1 1 0   d B .   On   th o th er   h an d ,   f o r   =0 . 6   ( c o n d itio n   n u m b er   9 . 7 4 ) ,   MSE   n o o n l y   r ea ch es  s tead y   s tate  co m p a r ativ ely   ea r ly ,   th at   is ,   at  3 0   d B ,   b u also   ac h ie v es  h ig h er   s tead y   s tate  v alu o f   10 - 2 th is   tr en d   co n tin u es  f o r   =0 . 8 ,   wh er th co n d itio n   n u m b er   in cr ea s es  to   2 9 . 7 6 .   At   =1 ,   H   b ec o m es   s in g u lar .           Fig u r 6 .   E lem e n t - wis MSE   b etwe en   W   an d   H 1 ,   co m p u ted   f o r   r an g o f   m atr ix   c o n d itio n s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 3 2 2 1   C o m p u t Sci  I n f   T ec h n o l ,   Vo l.  6 ,   No .   1 Ma r ch   2 0 2 5 1 - 7   6   5.   CO NCLU SI O N   n o v el  m at r ix   in v er s io n   m eth o d   b ased   o n   MI MO   ad ap tiv f ilter in g   is   p r esen ted .   M o n te  C ar lo   s im u latio n   r esu lts   d em o n s tr ate  th at  th e   m eth o d   h as  g o o d   co n v er g e n ce   a n d   ac cu r ac y   p r o p e r ties .   T h p r o p o s e d   m eth o d   h as  th a b ilit y   to   ite r ativ ely   ad a p to   c h an g es  in   s y s tem   co n d i tio n s ,   wh ich   m a k es  it  s u itab le  f o r   p r ac tical  im p lem en tatio n   in   s y s tem s   with   tim e - v ar y in g   p r o p er ties ,   e. g . ,   MI MO   wir eless   s y s tem s ,   MI MO   ac o u s tic  s y s tem s ,   an d   MI MO   co n tr o l sy s tem s .       F UNDING   I NF O R M A T I O   N o   f u n d in g   is   in v o lv ed .       AUTHO CO NT RI B UT I O NS ST A T E M E N T   T h is   jo u r n al  u s es  th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT)   to   r ec o g n ize  in d iv id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au th o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co llab o r atio n .     Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   Mu h am m ad   Yasir  Sid d iq u A n ju m                               J av ed   I q b al                                 C     C o n c e p t u a l i z a t i o n   M     M e t h o d o l o g y   So     So f t w a r e   Va     Va l i d a t i o n   Fo     Fo r mal   a n a l y s i s   I     I n v e s t i g a t i o n   R     R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi     Vi su a l i z a t i o n   Su     Su p e r v i s i o n   P     P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu     Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT     Au th o r s   s tate  n o   co n f lict o f   in t er est.       DATA AV AI L AB I L I T Y   Data   a v aila b i lit y   is   n o t   a p p li ca b le   t o   t h is   p ap er   as   n o   n e d a t w er cr ea te d   o r   an al y z e d   i n   t h is   s t u d y .       RE F E R E NC E S   [ 1 ]   J.  E.   P a u l ,   A d a p t i v e   d i g i t a l   t e c h n i q u e f o r   a u d i o   n o i se   c a n c e l l a t i o n ,   I EE E   C i rc u i t &   S y st e m s M a g a zi n e ,   v o l .   1 ,   n o .   4 ,   p p .   2 7 ,   1 9 7 9 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / M C A S . 1 9 7 9 . 6 3 2 3 3 8 3 .   [ 2 ]   T.   B a h r a i n i   a n d   A .   N .   S a d i g h ,   P r o p o si n g   a   r o b u s t   r l b a s e d   s u b b a n d   a d a p t i v e   f i l t e r i n g   f o r   a u d i o   n o i se   c a n c e l l a t i o n ,   A p p l i e d   Ac o u s t i c s ,   v o l .   2 1 6 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . a p a c o u s t . 2 0 2 3 . 1 0 9 7 5 5 .   [ 3 ]   V .   B .   S h u k l a ,   O .   K r e j c a r ,   K .   C h o i ,   A .   K .   M i s h r a ,   a n d   V .   B h a t i a ,   A d a p t i v e   sp a r se  c h a n n e l   e s t i m a t o r   f o r   i r s - a ss i st e d   m mw a v e   h y b r i d   mi m o   sy s t e m,”   I EE T r a n sa c t i o n s   o n   C o g n i t i v e   C o m m u n i c a t i o n s   a n d   N e t w o rk i n g ,   v o l .   1 0 ,   n o .   6 ,   p p .   2 2 2 4 2 2 3 5 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / T C C N . 2 0 2 4 . 3 4 2 2 5 1 0 .   [ 4 ]   M .   H .   A l - M e e r ,   M R I   a c o u s t i c   n o i se   r e d u c t i o n   u si n g   c n n ,   J o u r n a l   o f   E n g i n e e r i n g   Re s e a r c h ,   p p .   1 1 7 ,   2 0 2 2 ,     d o i :   1 0 . 3 6 9 0 9 / j e r . 1 7 6 6 1 .   [ 5 ]   Q .   Zh a n g ,   J.  Li ,   Y .   S u n ,   S .   W a n g ,   J .   G a o ,   a n d   B .   Y i n ,   B e y o n d   l o w - p a ss   f i l t e r i n g   o n   l a r g e - sc a l e   g r a p h v i a   a d a p t i v e   f i l t e r i n g   g r a p h   n e u r a l   n e t w o r k s,   N e u ra l   N e t w o rks ,   v o l .   1 6 9 ,   p p .   1 1 0 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . n e u n e t . 2 0 2 3 . 0 9 . 0 4 2 .   [ 6 ]   A .   K h w a i r a k p a m ,   D .   K a n d a r ,   a n d   B .   P a u l ,   N o i se   r e d u c t i o n   i n   sy n t h e t i c   a p e r t u r e   r a d a r   i ma g e s   u si n g   f u z z y   l o g i c   a n d   g e n e t i c   a l g o r i t h m,   M i c r o sys t e m   T e c h n o l o g i e s ,   v o l .   2 5 ,   n o .   5 ,   p p .   1 7 4 3 1 7 5 2 ,   2 0 1 9 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 0 0 5 4 2 - 0 1 7 - 3 4 7 4 - x.   [ 7 ]   F .   Ji n   a n d   S .   C a o ,   A u t o m o t i v e   r a d a r   i n t e r f e r e n c e   m i t i g a t i o n   u si n g   a d a p t i v e   n o i s e   c a n c e l l e r ,   I E EE  T r a n s a c t i o n o n   Ve h i c u l a r   T e c h n o l o g y ,   v o l .   6 8 ,   n o .   4 ,   p p .   3 7 4 7 3 7 5 4 ,   2 0 1 9 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TV T . 2 0 1 9 . 2 9 0 1 4 9 3 .   [ 8 ]   M .   H a t t i n g h ,   A   n e w   d a t a   a d a p t i v e   f i l t e r i n g   p r o g r a m   t o   r e m o v e   n o i s e   f r o m   g e o p h y s i c a l   t i m e -   o r   s p a c e - ser i e d a t a ,   C o m p u t e rs   a n d   G e o s c i e n c e s ,   v o l .   1 4 ,   n o .   4 ,   p p .   4 6 7 4 8 0 ,   1 9 8 8 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / 0 0 9 8 - 3 0 0 4 ( 8 8 ) 9 0 0 2 9 - 5.   [ 9 ]   Z.   W a n g ,   G .   L i u ,   C .   Li ,   L.   S h i ,   a n d   Z.   W a n g ,   R a n d o n o i se  a t t e n u a t i o n   o f   3 d   m u l t i c o mp o n e n t   s e i sm i c   d a t a   u si n g   a   f a s t   a d a p t i v e   p r e d i c t i o n   f i l t e r ,   G e o p h y si c s ,   v o l .   8 9 ,   n o .   3 ,   p p .   V 2 6 3 V 2 8 0 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 9 0 / g e o 2 0 2 3 - 0 1 9 5 . 1 .   [ 1 0 ]   A .   M i n c h o l é ,   J.  C a m p s,  A .   L y o n ,   a n d   B .   R o d r í g u e z ,   M a c h i n e   l e a r n i n g   i n   t h e   e l e c t r o c a r d i o g r a m,   J o u r n a l   o f   E l e c t r o c a rd i o l o g y v o l .   5 7 ,   p p .   S 6 1 S 6 4 ,   2 0 1 9 .   [ 1 1 ]   N .   V .   T h a k o r   a n d   Y .   S .   Z h u ,   A p p l i c a t i o n s   o f   a d a p t i v e   f i l t e r i n g   t o   e c g   a n a l y si s :   n o i se   c a n c e l l a t i o n   a n d   a r r h y t h mi a   d e t e c t i o n , ”  I EEE  T r a n s a c t i o n o n   Bi o m e d i c a l   En g i n e e ri n g ,   v o l .   3 8 ,   n o .   8 ,   p p .   7 8 5 7 9 4 ,   1 9 9 1 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / 1 0 . 8 3 5 9 1 .   [ 1 2 ]   M .   S u ,   J.  Z h e n g ,   Y .   Y a n g ,   a n d   Q .   W u ,   A   n e w   m u l t i p a t h   m i t i g a t i o n   m e t h o d   b a s e d   o n   a d a p t i v e   t h r e s h o l d i n g   w a v e l e t   d e n o i s i n g   a n d   d o u b l e   r e f e r e n c e   s h i f t   s t r a t e g y ,   G PS   S o l u t i o n s ,   v o l .   2 2 ,   n o .   2 ,   p p .   1 1 2 ,   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 1 0 2 9 1 - 0 1 8 - 0 7 0 8 - z.   [ 1 3 ]   A .   P a n d e y   a n d   D .   W a n g ,   A   n e w   f r a mew o r k   f o r   c n n - b a se d   s p e e c h   e n h a n c e me n t   i n   t h e   t i m e   d o ma i n ,   I EE E/ A C T r a n sa c t i o n s   o n   A u d i o   S p e e c h   a n d   L a n g u a g e   Pro c e ssi n g ,   v o l .   2 7 ,   n o .   7 ,   p p .   1 1 7 9 1 1 8 8 ,   2 0 1 9 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TA S LP. 2 0 1 9 . 2 9 1 3 5 1 2 .   [ 1 4 ]   K .   A u d h k h a s i ,   O .   O so b a ,   a n d   B .   K o s k o ,   N o i se - e n h a n c e d   c o n v o l u t i o n a l   n e u r a l   n e t w o r k s,   N e u r a l   N e t w o r k s ,   v o l .   7 8 ,   p p .   1 5 2 3 ,   2 0 1 6 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . n e u n e t . 2 0 1 5 . 0 9 . 0 1 4 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
C o m p u t Sci  I n f   T ec h n o l     I SS N:   2722 - 3 2 2 1       Ma tr ix  in ve r s io n   u s in g   mu ltip le - in p u t m u ltip le - o u tp u a d a p tive    ( Mu h a mma d   Ya s ir   S id d iq u A n ju m )   7   [ 1 5 ]   N .   H o w a r d ,   A .   P a r k ,   T .   Z .   S h a b e s t a r y ,   A .   G r u e n s t e i n ,   a n d   R .   P r a b h a v a l k a r ,   A   n e u r a l   a c o u st i c   e c h o   c a n c e l l e r   o p t i m i z e d   u s i n g   a n   a u t o m a t i c   s p e e c h   r e c o g n i z e r   a n d   l a r g e   sc a l e   sy n t h e t i c   d a t a ,   i n   I C A S S P,   I EEE  I n t e r n a t i o n a l   C o n f e r e n c e   o n   Ac o u s t i c s,  S p e e c h   a n d   S i g n a l   Pro c e ss i n g   -   Pro c e e d i n g s ,   2 0 2 1 ,   p p .   7 1 2 8 7 1 3 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / I C A S S P 3 9 7 2 8 . 2 0 2 1 . 9 4 1 3 5 8 5 .   [ 1 6 ]   D .   K i m,   H .   C h o i ,   a n d   H .   B a e ,   A c o u s t i c   e c h o   c a n c e l l a t i o n   u si n g   b l i n d   so u r c e   se p a r a t i o n ,   i n   I EEE   W o rks h o p   o n   S i g n a l   Pro c e ssi n g   S y s t e m s,   S i P S :   D e s i g n   a n d   I m p l e m e n t a t i o n ,   2 0 0 3 ,   p p .   2 4 1 2 4 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / S I P S . 2 0 0 3 . 1 2 3 5 6 7 6 .   [ 1 7 ]   K .   B e l a l i a ,   M .   K h o d j a ,   H .   B o u z e b o u d j a ,   A .   B e n d i a b d e l l a h ,   a n d   A .   M o st e f a ,   N e t w o r k   c u r r e n t   q u a l i t y   e n h a n c e me n t   u n d e r   n o n l i n e a r   a n d   u n b a l a n c e d   l o a d   c o n d i t i o n s   u s i n g   a   f o u r - w i r e   i n v e r t e r - b a se d   a c t i v e   sh u n t   f i l t e r ,   I n d o n e si a n   J o u r n a l   o f   E l e c t ri c a l   En g i n e e ri n g   a n d   I n f o rm a t i c s ,   v o l .   9 ,   n o .   3 ,   p p .   6 0 1 6 1 4 ,   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 5 2 5 4 9 / . V 9 I 3 . 2 9 5 1 .   [ 1 8 ]   P .   K .   M e h e r   a n d   S .   Y .   P a r k ,   A r e a - d e l a y - p o w e r   e f f i c i e n t   f i x e d - p o i n t   l ms  a d a p t i v e   f i l t e r   w i t h   l o w   a d a p t a t i o n - d e l a y ,   I E EE  T ra n s a c t i o n o n   V e ry   L a r g e   S c a l e   I n t e g r a t i o n   ( VLS I )   S y s t e m s ,   v o l .   2 2 ,   n o .   2 ,   p p .   3 6 2 3 7 1 ,   2 0 1 4 ,     d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TV LSI . 2 0 1 3 . 2 2 3 9 3 2 1 .   [ 1 9 ]   W .   A l - S a e d i ,   S .   W .   L a c h o w i c z ,   D .   H a b i b i ,   a n d   O .   B a ss ,   P o w e r   q u a l i t y   e n h a n c e me n t   i n   a u t o n o m o u mi c r o g r i d   o p e r a t i o n   u s i n g   p a r t i c l e   sw a r m o p t i mi z a t i o n ,   I n t e rn a t i o n a l   J o u r n a l   o f   E l e c t r i c a l   Po w e r a n d   E n e r g y   S y s t e m s ,   v o l .   4 2 ,   n o .   1 ,   p p .   1 3 9 1 4 9 ,   2 0 1 2 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . i j e p e s. 2 0 1 2 . 0 4 . 0 0 7 .   [ 2 0 ]   J.  M .   M c C o o l   a n d   B .   W i d r o w ,   P r i n c i p l e s a n d   a p p l i c a t i o n s o f   a d a p t i v e   f i l t e r s - a   t u t o r i a l   r e v i e w ,   I EEE   I n t e r n a t i o n a l   S y m p o s i u m   o n   C i rc u i t a n d   S y st e m s ,   v o l .   3 ,   p p .   1 1 4 3 1 1 5 7 ,   1 9 8 0 .   [ 2 1 ]   M .   K h u r a n a ,   C .   R a m a k r i sh n a ,   a n d   S .   N .   P a n d a ,   C a p a c i t y   e n h a n c e me n t   u s i n g   m u - mi m o   i n   v e h i c u l a r   a d   h o c   n e t w o r k ,   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   A p p l i e d   E n g i n e e ri n g   Re s e a rc h ,   v o l .   1 2 ,   n o .   1 6 ,   p p .   5 8 7 2 5 8 8 3 ,   2 0 1 7 .   [ 2 2 ]   M .   M u d a ss i r   a n d   A .   M u j a h i d ,   M o d e l i n g   a n d   f a b r i c a t i o n   o f   sm a r t   r o b o t i c   w h e e l c h a i r   i n st r u c t e d   b y   h e a d   g e st u r e ,   I n d o n e si a n   J o u rn a l   o f   El e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g   a n d   I n f o rm a t i c s ,   v o l .   9 ,   n o .   3 ,   p p .   6 3 3 6 4 6 ,   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 5 2 5 4 9 / . V 9 I 3 . 2 8 9 2 .   [ 2 3 ]   Y .   H u a n g ,   J .   B e n e st y ,   a n d   J.  C h e n ,   I d e n t i f i c a t i o n   o f   a c o u s t i c   mi mo   s y s t e ms:  c h a l l e n g e a n d   o p p o r t u n i t i e s,   S i g n a l   Pr o c e ssi n g v o l .   8 6 ,   n o .   6 ,   p p .   1 2 7 8 1 2 9 5 ,   2 0 0 6 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . si g p r o . 2 0 0 5 . 0 6 . 0 2 3 .   [ 2 4 ]   T.   S .   R a p p a p o r t ,   Wi r e l e ss  c o m m u n i c a t i o n s:   p r i n c i p l e a n d   p r a c t i c e .   U p p e r   S a d d l e   R i v e r ,   U n i t e d   S t a t e s :   P r e n t i c e   H a l l ,   2 0 2 4 .   [ 2 5 ]   B .   F a r h a n g - B o r o u j e n y ,   A d a p t i v e   f i l t e r s:   t h e o r y   a n d   a p p l i c a t i o n s .   H o b o k e n ,   U S A :   Jo h n   W i l e y   &   S o n s,   2 0 0 3 .       B I O G RAP H Y   O F   AUTHO R       Mu h a m m a d   Ya sir   S id d i q u e   A n ju m           re c e iv e d   b a c h e lo r' d e g re e   in   e lec tri c a l   e n g in e e rin g   fr o m   t h e   F e d e ra U rd u   U n iv e rsit y   o Arts,  S c ien c e   &   Tec h n o lo g y ,   Isla m a b a d ,   P a k istan ,   in   2 0 0 8 ;   a n d   a   m a ste r' d e g re e   a ls o   i n   e lec tri c a e n g i n e e rin g   fro m   th e   Un i v e rsity   o f   En g i n e e rin g   a n d   Tec h n o lo g y ,   Tax il a ,   P a k istan ,   in   2 0 1 5 .   Cu rre n tl y ,   h e   is  w o rk i n g   a a   L e c tu re a th e   De p a rtme n o E lec tri c a En g i n e e rin g ,   Na ti o n a Un i v e rsity   o M o d e rn   Lan g u a g e s,   Isla m a b a d ,   P a k istan .   His  re se a rc h   in tere sts  in c l u d e   a d a p ti v e   a n d   ra n d o m   sig n a l   p r o c e ss in g   f o r   wire les s c o m m u n ica ti o n   sy ste m s.   He   c a n   b e   c o n tac ted   a e m a il y a sir. sid d iq u e @n u m l. e d u . p k .         J a v e d   Iqb a l           re c e iv e d   b a c h e lo r' d e g re e   in   e lec tro n ic  e n g in e e rin g   fr o m   In tern a ti o n a Isla m ic  Un iv e rsity ,   Isla m a b a d ,   P a k istan ,   in   2 0 1 0 a n d   m a ste r' a n d   P h d e g re e s,   re sp e c ti v e ly ,   i n   tele c o m m u n i c a ti o n e n g in e e rin g   a n d   e lec tri c a l,   e lec tro n ics ,   a n d   tele c o m m u n ica ti o n e n g i n e e rin g   fro m   P o li tec n ico   d T o ri n o ,   Italy ,   i n   2 0 1 4   a n d   2 0 1 8 .   Cu rre n tl y ,   h e   is  wo r k i n g   a As si sta n P r o fe ss o a t h e   De p a rtme n o El e c tri c a En g in e e rin g ,   M il it a ry   Co ll e g e   o f   S i g n a ls,   N a ti o n a u n iv e rsity   o f   S c ien c e   &   Tec h n o l o g y ,   Isla m a b a d ,   P a k istan .   His  re se a rc h   in tere sts  in c lu d e   d i g it a d e si g n ,   a p p l ied   a i,   in ter n e o th i n g s,  si g n a l   p ro c e ss in g .   He   c a n   b e   c o n tac ted   a e m a il jav e d iq b a l@m c s.e d u . p k .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.