I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m pu t er   E ng ineering   ( I J E CE )   Vo l.   15 ,   No .   5 Octo b er   20 25 ,   p p .   4 6 0 5 ~ 4 6 1 9   I SS N:  2088 - 8 7 0 8 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijece. v 15 i 5 . pp 4 6 0 5 - 4 6 1 9           4605       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij ec e. ia esco r e. co m   memo ry  impro v ed propo rtiona t e affine  proje ctio n alg o rithm  for spa rse sy stem  identif i ca tion       Senthil  M urug a n B o o pa la n 1 ,   Sa ro j ini   Ra j u 2 ,   K rit hig a   Su k um a r a n 1 ,   M a nim eg a la i Mu nis a m y 1 K a lph a na   I la ng o v a n 1 ,   Su dh a   Ra ma cha nd ra n 3 ,   J a na ni M un is a m y 1 ,   B ha ra t hira j a   R a m a m o o r t hi 1 ,   Sa k t hiv el  P icha ik a r a n 3   1 D e p a r t me n t   o f   El e c t r o n i c s a n d   C o m mu n i c a t i o n   En g i n e e r i n g ,   T h a n t h a i   P e r i y a r   G o v e r n me n t   I n st i t u t e   o f   Te c h n o l o g y ,   V e l l o r e ,   I n d i a   2 D e p a r t me n t   o f   El e c t r o n i c s a n d   C o m mu n i c a t i o n   En g i n e e r i n g ,   G o v e r n m e n t   C o l l e g e   o f   E n g i n e e r i n g ,   B o d i n a y a k a n u r ,   I n d i a   3 D e p a r t me n t   o f   El e c t r i c a l   a n d   El e c t r o n i c s E n g i n e e r i n g ,   T h a n t h a i   P e r i y a r   G o v e r n m e n t   I n st i t u t e   o f   T e c h n o l o g y ,   V e l l o r e ,   I n d i a       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Dec   1 2 ,   2 0 2 4   R ev is ed   J u n   6 ,   2 0 2 5   Acc ep ted   J u l 3 ,   2 0 2 5       F o c lu ste sp a rse   sy ste m   id e n ti fica ti o n ,   it   is  k n o w n   th a th e   c lu s ter  sp a rse   imp ro v e d   p ro p o r ti o n a te  a ffin e   p ro jec ti o n   a l g o rit h m   (CS - IP APA)   o u t p e rfo rm t h e   sta n d a rd   IP APA.   Ho we v e r,   sin c e   CS - I P APA  d o e n o t   re tai n   p a st  p r o p o rti o n a te   fa c to rs,  it p e rfo rm a n c e   c a n   b e   f u rth e r   imp r o v e d .   I n   th is   p a p e r,   a   m o d ifi c a ti o n   t o   CS - I P A P is  p r o p o se d   b y   u ti l izin g   th e   p a st  in sta n t   p ro p o rti o n a te  e lem e n ts  b a se d   o n   it p r o jec ti o n   o r d e r.   S tea d y - sta te   p e rfo rm a n c e   o f   th e   p r o p o se d   m e m o ry   c l u ste sp a rse   imp r o v e d   p ro p o rti o n a te   a ffin e   p r o jec ti o n   a lg o rit h m   (M CS - IP APA)  is  st u d ied   b y   d e ri v in g   t h e   c o n d i ti o n   f o m e a n   sta b il i ty .   D iffere n sim u lati o n   se tu p sh o w   th a t   th e   p ro p o se d   a lg o rit h m   o u t p e rfo rm d iffere n v e rsio n s   o I P APA  i n   term o f   c o n v e rg e n c e   ra te,  n o rm a li z e d   m is a li g n m e n t   (NM)   a n d   trac k in g ,   fo r   d iffere n t   ty p e o i n p u ts  li k e   c o lo re d   n o ise ,   wh i te  n o ise ,   a n d   s p e e c h   sig n a l.   By   in c o rp o ra ti n g   p a st  p ro p o rti o n a te  fa c to rs,  th e   p ro p o se d   M CS - IP APA   sig n ifi c a n t ly   re d u c e s c o m p u tatio n a c o m p lex it y   fo r   h i g h e p ro jec ti o n   o r d e rs .   K ey w o r d s :   Ad ap tiv f ilter     Af f in p r o jectio n   alg o r ith m     C lu s ter   s p ar s s y s tem   E ch o   ca n ce llatio n   Sp ar s s y s tem   id en tific atio n     T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Sen th il M u r u g an   B o o p alan   Dep ar tm en t o f   E lectr o n ics an d   C o m m u n icatio n   E n g in ee r i n g ,   T h an th ai  Per iy ar   Go v er n m en t   I n s titu te  o f   T ec h n o lo g y   Vello r e,   T am il Na d u ,   I n d ia    E m ail: b s en th il2 4 @ g m ail. co m         1.   I NT RO D UCT I O N   Sp ar s s y s tem   id en tific atio n   h as  g ain ed   m u ch   im p o r ta n ce   in   th d o m ain   o f   ad ap ti v s ig n al  p r o ce s s in g .   T h e   s y s tem   is   s aid   to   h av a   s p ar s im p u ls r esp o n s if   th n u m b e r   o f   a ctiv o r   lar g co e f f icien ts   is   v er y   s ig n if ican tly   less er   th an   th at  o f   in ac tiv o r   s m all  c o ef f icien ts   [ 1 ] ,   [ 2 ] .   I n   b lo c k - s p ar s o r   clu s ter - s p ar s s y s tem ,   th lar g co ef f i cien ts   ar g r o u p e d   in   clu s ter s   o r   b lo ck s .   I n   p r o p o r tio n ate  n o r m alize d   least m ea n   s q u ar ( PNLM S),   th ch o s en   s tep - s izes  o r   ad ap tatio n   g ain s   ar p r o p o r tio n al  to   t h in d iv id u al  f ilter   co ef f icien ts ,   s h o win g   h ig h e r   p er f o r m an ce   f o r   s p ar s s y s tem s   [ 3 ] .   Ho wev e r ,   th e   PNLM S,  s h o ws  p o o r   p er f o r m an ce   f o r   Sp ee ch   a n d   co lo r ed   n o is in p u ts   [ 4 ] ,   [ 5 ] .   Ov er   th y ea r s ,   s ev er al  v a r ian ts   o f   PNLM h av e   b ee n   d e v elo p ed   [ 6 ] [ 9 ] .   Af f in p r o jectio n   al g o r ith m   ( APA) ,   in p u t - d ata  r eu s in g   al g o r ith m ,   ex h ib its   g o o d   p er f o r m an ce   ev en   f o r   th e   co lo r ed   n o is an d   s p e ec h   in p u ts   [ 1 0 ] ,   [ 1 1 ] .   Sev er al   v ar ian ts   o f   th e   p r o p o r tio n ate  APA  ( PAPA)  h av e   b ee n   in tr o d u ce d   in   th last   two   d ec ad es.  I m p r o v ed   PAPA  s h o ws  g o o d   p e r f o r m an ce   e v en   f o r   d is p er s iv p ath s     [ 1 2 ] [ 1 5 ] .   I n   m em o r y   I PAPA  ( MI PAPA),   th p r o p o r tio n ate  elem en ts   tr ac k   r ec o r d   wa s   ex p lo ited   to   g ain   p er f o r m an ce   o v er   th e   I PAPA  [ 1 2 ] .   I n   im p r o v ed   MI PAPA   ( I MI PAPA)  [ 1 3 ] ,   l0   n o r m   was  in tr o d u ce d   to   MI PAPA  as  m ea s u r o f   s p ar s ity ,   s h o win g   im p r o v e d   co n v e r g en ce   p er f o r m a n ce   o v er   th e   MI PAPA.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   5 Octo b e r   20 25 :   4 6 0 5 - 4 6 1 9   4606   Ad d itio n ally ,   th m e m o r ized   p r o p o r ti o n ate  elem en ts   b en e f it   co m p u tatio n al  c o m p lex ity .   T h im p u ls r esp o n s e   is   s eg m en ted   in to   m an y   b lo c k s ,   m o d if y in g   PAPA  o r   I PAP u p d ate  eq u atio n   with   l2 , 1   p en alty   [ 1 4 ]   to   g iv e   b lo ck   s p ar s PAPA  ( B S - PA P A)   o r   B lo ck   Sp ar s I PAPA  ( B S - I PAPA)  th at  r esu lts   in   b ette r   co n v e r g en ce   r ate ,   tr ac k in g ,   r ed u ce d   m is alig n m e n t.  I n   clu s ter   s p ar s PA PA  ( C S - PAPA)  o r   clu s ter   s p ar s C S - I PAPA   [ 1 6 ] ,   [ 1 7 ] th n o r m   l2 , 0   p en alize s   th PAPA o r   I PAPA   as in   C S - P NL MS  o r   C S - I PNLM S to   es tim at s p ar s ch an n els.  I r esu lts   in   b etter   co n v er g en ce   p er f o r m an ce   a n d   tr ac k in g ,   a n d   less   m is alig n m en t.  T h im p r o v is atio n   o f   C S - PAPA  b y   ex p lo itin g   m em o r y   an d   its   an aly s es  was  ca r r ied   o u in   [ 1 7 ] .   T h l0 - n o r m   B S - PAPA  ( l0 - BS - PA PA)   [ 1 8 ]   was  in tr o d u ce d   b y   in co r p o r atin g   th l0 - n o r m   s p ar s ity   m ea s u r in to   B S - PAPA.  T h ad d e d   p e n alty     l0 - n o r m   h el p s   in   th e   s h r in k ag o f   in ac tiv c o ef f icien ts   th e r eb y   p r o d u cin g   h ig h er   c o n v e r g en ce   r ate   th an   th BS - PA PA.  Sev er al  im p r o v ed   v er s io n s   o f   th PAPA a n d   t h I PAPA we r p r esen ted   o v er   th y ea r s   [ 1 9 ] [ 2 3 ]   Me m o r y   C S - PAPA  ex ten d s   t h id ea   o f   m em o r y   c o n ce p t o   th C S - PAPA.  T h p er f o r m an ce   o f   th e   MCS - PA PA  i s   h ig h er   in   ter m s   o f   tr ac k in g ,   co n v er g en ce   r at an d   th m is alig n m en t,  th an   th C S - PAP A.   T h is   r esear ch   wo r k   is   th s eq u el  o f   [ 1 7 ]   f o r   f u r th e r   im p r o v em en o f   C S - I PAPA.  I n   th is   p ap er ,   m o tiv ated   b y     [ 1 2 ] [ 1 7 ] ,   we  p r o p o s th Me m o r y   C S - I PAPA  ( MCS - I PAPA)  b y   ex ten d in g   th e   id ea   o f   m em o r y   in   p r o p o r tio n ate   f ac to r s   to   t h C S - I PAP A.   I n   co n tr ast  t o   th C S - I PAPA,  th p ast  h is to r y   o f   p r o p o r tio n at e   elem en ts   is   in co r p o r ated   in   C S - I PAPA to   en h an ce   its   p er f o r m an ce .     T h m ain   co n tr ib u tio n s   o f   th is   r esear ch   p ap e r   ar e :   a.   T h m an u s cr ip is   n o v el  in   th s en s e,   f o r   th e   f ir s tim e,   th e   m em o r y   c h ar ac ter is tics   o f   th p r o p o r tio n ate   co ef f icien ts   ar in co r p o r ate d   i n   an   I m p r o v ed   p r o p o r tio n ate  af f in p r o jectio n   alg o r ith m ,   f o r   clu s ter   s p ar s ch an n els.  T h m ath em atica a n aly s is   f o r   th u p d ate  eq u atio n   o f   th e   p r o p o s ed   alg o r ith m   MCS - I PAP i s   f u lly   p r esen ted .   b.   Stead y -   s tate  p er f o r m an ce   s tu d y   o f   th e   MCS - I PAPA  is   d er iv ed .   T h e   co n d itio n   f o r   th m ea n   s tab ilit y   is   d er iv ed   to   p r e d ict  th s tead y - s tate  p er f o r m an ce .   T h c o n d it io n   s h o ws  th at  th m ea n   s tab ilit y   d ep en d s   o n   th in p u p o wer   lev el,   c.   W ith   d if f er en in p u ts ,   th s u p er io r   p er f o r m a n ce   o f   th p r o p o s ed   is   s h o wn   o v er   th co m p etin g   alg o r ith m s   lik th B S - I PAPA a n d   C S - I P APA.     d.   I n   ter m s   o f   n u m b er   o f   th m u l tip licatio n s ,   ad d itio n s ,   d i v is io n s ,   m em o r y   s p ac es  an d   co m p a r is o n s ,   th tim co m p lex ity   o f   th p r o p o s ed   MCS - I PA PA  is   co m p ar ed   ag ain s ex is tin g   alg o r ith m s .   T h p r o p o s ed   alg o r ith m   s h o ws s ig n if ican r e d u ctio n   in   n u m b er   o f   m u ltip lic atio n s   f o r   h i g h er   p r o jectio n   o r d er .   I n   th is   p a p er ,   lo wer   ca s e   s y m b o ls   in   b o ld f ac e   an d   u p p er ca s s y m b o ls   in   b o ld f ac e   ar e   a d o p ted   f o r   co lu m n   v ec t o r s   an d   m at r ices,  i.e   an d   X,   r esp ec tiv ely .   Als o ,   f o r   s ca lar s   lik e,   n o r m a f o n lo wer   ca s e   s y m b o ls   ar e   u s ed .   T o   d en o te  th tim d ep en d en cy   o f   s ca la r s   an d   v ec to r s   lik ( )   an d   ( ) ,   p ar en th eses   o r   r o u n d   b r ac k ets  ar e   em p l o y ed .   T h f o llo win g   n o tatio n s   ar ta k en   u p   i n   h is   r esear ch   ar ticle i)   ( , ) T r an s p o s e   o f   v ec to r ii)  ( . ) E x p ec tatio n   o r   s tatis tical   m ea n iii)  | | . | | E u clid ea n   n o r m   o f   v ec to r ;   iv )   | | | | A 2 Gen er alize d   in n er   p r o d u ct ; a n d   v )   : I d en tity   m atr i x   o f   d im en s io n   p x p .   T h e   r e s t   o f   t h e   p a p e r   i s   o r g a n iz e d   a s   f o l l o ws :   s e c ti o n   2   b r i e f l y   r e v i e w s   t h e   c o n v e n t i o n a l   I PA P A   a n d   CS - I P A PA .   T h e   p r o p o s e d   a l g o r i t h m   M C S - I P AP A   a n d   i t s   u p d a t e   e q u a t i o n   d e r i v a t i o n   p a r t   a r e   p r e s e n t e d   i n   s e c ti o n   3 .   I n   s e c ti o n   4 ,   t h c o n d i t i o n   f o r   m e a n - s t a b il i t y   i s   d e r i v e d .   S ec t i o n   5   p r e s e n ts   t h s e v e r al   s i m u l at i o n   e x p e r i m e n t s   c a r r i e d   o u t   a n d   t h e   r e s u l t s   a r e   i ll u s t r a t e d .   T h e   c o m p u t a t i o n a l   c o m p l e x i ty   a n d   t h e   t r a n s i e n p e r f o r m a n c e   o f   t h e   p r o p o s e d   a l g o r i t h m   a r e   s t u d i e d   i n   s e ct i o n   6 .   F i n a l l y ,   s e c ti o n   7   c o n c l u d e s   t h e   r e s e a r c h   p a p e r .       2.   B RI E F   RE V I E O F   I P AP AND  CS - I P AP A       T h r o ad m ap   to   t h e   r esear ch   wo r k   is   g iv en   b y   th t h eo r eti ca f r am ewo r k   b y   p r esen tin g   th ex itin g   r elev an t   th eo r ies  in   th liter atu r e .   T h ec h o   ca n ce llatio n   is   ch allen g in g   s p ar s s y s tem   id en tific atio n   p r o b lem   in   wh ich   th ca n ce ller   m o d els  th im p u ls r esp o n s o f   th e   ec h o   p ath .   ty p ical  m o d ellin g   o f   ec h o   ca n ce ller   is   s h o wn   in   Fig u r 1 .   Her e,   th e   im p u ls r esp o n s o f   th u n k n o wn   ec h o   p ath   is   g iv en   b y   h   o f   len g th   K.   T h e   s ig n al  at  th f ar - en d   is   g iv e n   b y   its   s n ap s h o tak en   at  t im in s tan l   as  x ( l ) = [ x ( l ) , x ( l 1 ) ,   x ( l 2 ) , ,   x ( l K + 1 ) ] T .   T h en   th e   d esire d   s ig n al  is   ex p r ess ed   b elo w,   as  th s u m   o f   t h o u tp u t   o f   th u n k n o wn   ec h o   p ath   an d   th n ea r - en d   o r   a d d itiv n o is a( l [ 2 ]     ( ) = x ( ) + a ( )     ( 1 )     T h ec h o   p ath   is   esti m ated   b y   th e   ad a p tiv f ilter   as  i ( 1 ) = [ i 0 ( 1 ) , i 1 ( 1 ) , , i K 1 ( 1 ) ] .   T h o u tp u o f   th a d ap tiv f ilter   is   g iv en   b y   ( 2 )     ( ) = ( ) ( 1 ) .      ( 2 )     T h en ,   th e r r o r   in   th esti m ati o n   o f   th ec h o   p ath   is     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   mem o r imp r o ve d   p r o p o r ti o n a te  a ffin p r o jectio n   a lg o r ith fo r     ( S en th il Mu r u g a n   B o o p a la n )   4607   ( ) = ( ) ( )        ( 3 )           Fig u r 1 .   An   E ch o   ca n ce ller   m o d el       2 . 1 .     I P AP A   T o   f u r t h er   ex p lo it  th s p ar s it y   an d   im p r o v th s p ee d   o f   co n v er g en ce ,   th e   PAPA   o r   th I PAPA  r ec y cles th in p u t sig n al.   T h i n p u t d ata  m atr ix   is   g iv en   as in   [ 1 1 ] .     ( ) = [ ( ) , ( 1 ) , , ( p + 1 ) ]        ( 4 )     wh er p   d e n o tes  th p r o jecti o n   o r d e r   o f   I PAPA  an d   p <K .   T h o u tp u v ec t o r ,   th d esire d   s ig n al  v ec to r ,   an d   th er r o r   v ec to r   o f   I PAPA a r ex p r ess ed   as   ( 5 ) - ( 7 ) :     z ( ) = X ( ) i ( 1 ) ,            ( 5 )     d ( ) = [ ( ) , ( 1 ) , , ( p + 1 ) ]            ( 6 )     e ( ) = d ( ) z ( )         ( 7 )     wh er d ( l )   , y ( l )   a n e ( l )   r ep r esen t h d esire d   s ig n al  v ec to r ,   th e   o u t p u v ec to r ,   an d   th e   er r o r   v ec to r ,   r esp ec tiv ely .   T h en   th u p d ated   eq u atio n   o f   th I PAPA is   ex p r ess ed   b ased   o n   [ 2 4 ]   as   ( 8 ) :     i ( ) = i ( 1 ) + U ( 1 ) X ( ) ( X ( ) U ( 1 ) X ( ) + δ I P A P A I p ) 1 e ( l )         ( 8 )     wh er U ( ) , δ I PAPA ,    μ   d en o tes  r esp ec tiv ely ,   th p r o p o r tio n ate  m atr ix ,   r e g u lar izatio n   p ar am eter ,   a n d   th s tep   s ize  o f   I PAPA.  T h en   U( l )   is   ex p r ess ed   b ased   o n   [ 2 4 ]   as   ( 9 ) :       U ( l ) = dia g { u 0 ( l ) , u 1 ( l ) , , u K - 1 ( l ) }            ( 9 )     wh er th elem en ts   ar g iv en   b y   ( 1 0 )     u f ( l) = (1 - α) 2 +     ( 1+α ) i f ( l) 2 2 i n ( ) 2 K - 1 n= 0   ,    0 f K - 1   ( 1 0 )     wh er α   is   co n s tan a n d   is   o f ten   s elec ted   b etwe en   - 1   an d   1 .   T h e   I PAPA  ac ts   lik PAPA  f o r   α   clo s to   1 .   I f   α = - 1 ,   I PAPA is   s am as APA.   g o o d   s elec tio n   f o r   α   is   eith er   0   o r   - 0 . 5   [ 4 ] .     2 . 2 .     CS - I P AP A   B y   in co r p o r atin g   m ix ed - n o r m   l 2, 0   p en alty   in to   th e   I PAPA,  th C S - I PAPA  is   p r esen ted ,   f av o r i n g   th clu s ter - s p ar s ch ar ac ter is tic  o f   th ec h o   p ath   c h an n el  [ 1 6 ] .   T h is   alg o r ith m   is   b ased   o n   th f ac th at  th l 0 - n o r m   is   b etter   ch o ice  f o r   ex p lo itin g   th s p ar s ch ar ac ter is tic  th an   th l 1 - n o r m .   Her e,   th e   l 2 - n o r m   is   u s ed   f o r   s eg r eg atin g   th ch a n n el  in to   c lu s ter s   o f   eq u al  s ize.   T h u p d ate  eq u atio n   o f   th al g o r ith m   C S - I PAP is   s am as th C S - PAP A,   ex ce p t f o r   t h d ef in itio n   o f   th g ain   d is tr ib u tio n   m atr ix .     ) 2, 0 = [       i [ 0] 2 i [ 1] 2 i [M - 1] 2 ]       0                    ( 1 1 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   5 Octo b e r   20 25 :   4 6 0 5 - 4 6 1 9   4608   I n   ( 1 1 ) ,   M   d en o tes  th n u m b er   o f   cl u s ter s   in   th ec h o   p at h   ch an n el,   i.e ,   M = K/Q  an d   Q’   is   th n u m b e r   o f   co ef f icien ts   p er   clu s ter   o r   clu s ter   s ize.   T h en   th l 0 - n o r m   ap p r o x im ati o n   [ 2 5 ]   o f   th ec h o   p at h   o r   th e   weig h t e s tim ate  v ec to r   is     | | i( l )| | 0 (1 - e - β|| i [ t ] || ) M 1 t =0 ,                 ( 1 2 )     an d   β’  s h o u ld   b alwa y s   g r ea ter   th an   ze r o .   T h en ,   t h l 2, 0 - n o r m   ap p r o x im atio n   [ 1 6 ]   o f   th e   ec h o   p ath   o r   weig h t   esti m ate  v ec to r   is       | | i( l )| | 2, 0 (1 - e - β|| i [ t ] | | 2 ) M - 1 t =0 ,                 ( 1 3 )     T h u p d ate  eq u atio n   o f   th C S - I PAPA is   as  ( 1 4 )   [ 1 6 ] .     i( l ) = i( l - 1 ) + μ U CI ( l - 1 ) X( )( X T ( ) U CI ( - 1 ) X( )+ δ CI I p ) - 1 e( ).          ( 1 4 )     wh er δ CI     is   th r eg u lar izatio n   p ar am eter   f o r   C S - I PAPA.   T h d iag o n al  m atr i x   U CI ( l   - 1 )   is       U CI ( l - 1) = d iag [ u 0 ( l - 1) 1 Q , u 1 ( l - 1) 1 Q ,.., u M - 1 ( l - 1) 1 Q ],           ( 1 5 )     wh er ein   1 Q   is   r o v ec to r   o f   o n es.  T h t th  clu s ter   h as  th g ain   elem en u t ( l - 1 )   an d   is   g iv en   b y   ( 1 0 ) .      Alth o u g h   C S - I PAPA  d em o n s tr ates  b etter   tr ac k in g   an d   co n v er g en ce   r ates  [ 1 6 ]   co m p ar ed   to   MI PAPA,  I PAPA,  an d   B S - I PA PA ,   it  d o es  n o co n s id er   p ast  p r o p o r tio n ate  elem en ts   wh en   u p d atin g   ea ch   ad ap tiv f ilter   co ef f icien t,  r ely i n g   s o lely   o n   t h cu r r e n t tim s tep .       3.   M E T H O   T h m em o r y   C S - I PAPA  is   in tr o d u ce d   in   th is   s ec tio n ,   b y   e x ten d in g   th co n ce p o f   m em o r y   o f   th e   p r o p o r tio n ate  ele m en ts   to   t h C S - I PAPA.  B ec au s th alg o r ith m   APA  co n s id er s   th e   h is to r y   o f   p ast  p   m o m en ts   o f   p r o p o r tio n ate  ele m en ts ,   it  ca n   b e   co n s id er ed   as   an   ad a p tiv alg o r ith m   with   m em o r y ,   th h is to r y   o f   th last   p   p r o p o r tio n ate  elem en ts   is   tak en   in to   ac co u n f o r   u p d atin g   ea ch   f ilter   co ef f icien t.   R ec u r s iv e   im p lem en tatio n   o f   th p r o p o r t io n ate  elem en ts   ca n   b ac h iev ed   u s in g   th is   ap p r o ac h .   T h is   ap p r o ac h   lead s   to   a   s ig n if ican r ed u ctio n   in   th e   co m p u tatio n al   co m p lex ity   in   ter m s   o f   m u ltip licatio n s   f o r   h ig h er   v alu es  o f   p r o jectio n   o r d e r   [ 1 2 ] .   T h e   tech n iq u e m p lo y ed   in   t h is   r esear ch   wo r k   is   in co r p o r atin g   m e m o r y   to   p r o p o r tio n ate  elem e n ts   o f   C S - I PAPA th at  ca n   im p r o v its   co n v er g e n ce   p er f o r m a n ce .   T h u s ,   th e   p r o p o s ed   MCS - I P APA  is   d er iv ed   b y   f ir s s tar tin g   with   th e   o p tim izatio n   p r o b lem ,   th en   d er iv in g   th f ilter   u p d atin g   e q u atio n   o f   th C S - I PAPA  f r o m   th b asis - p u r s u it  an d   th m eth o d   o f   L ag r an g e   m u ltip lier s .   T h en ,   i n tr o d u cin g   th co n ce p o f   m em o r y   in t o   th clu s ter - s p ar s ch a n n el  f av o r s   p e r f o r m an ce   ch ar ac ter is tics   im p r o v em en t a n d   r e d u ctio n   i n   n u m b er   o f   m u ltip licatio n s .   T h C S - I PAPA seek s   an   o p tim u m   s o lu tio n   f o r   t h f o llo win g   o p tim izatio n   p r o b lem .     m in i( ) 1 2 i( ) - i( - 1 ) U C I - 1 ( l - 1)   2   s . t   d( l ) - X T ( l ) i( l ) =0          ( 1 6 )     wh er U CI - 1 ( l - 1 )   is   d ef in ed   b y   ( 1 5 ) .   T h ab o v o p tim izatio n   ( 1 6 )   is   b ased   o n   th c o n ce p p r o p o s ed   in   [ 2 6 ] ,   [ 2 7 ] .   c o n s tr ain ed   o p tim iza tio n   ( 1 6 )   is   tr an s f o r m e d   in to   an   u n c o n s tr ain ed   o p tim izatio n   p r o b lem   b y   th e   m eth o d   o f   L ag r an g m u ltip lie r s   [ 2 6 ] ,   [ 2 7 ]   with   m an y   co n s tr ain ts .     T h co s t f u n ctio n   o f   th C S - I PAPA,  i.e .   J ( l )   is       J( l ) = 1 2 [ i( l ) - i( l - 1) ] T U CI - 1 ( l - 1 ) [ i( l ) - i( l - 1 ) ] +[ d ( l ) - X T ( l ) i( l ) ] T λ( l ),   ( 1 7 )     wh er λ( l ) = [ λ 0 ( l ), λ 1 ( l ) , . . . λ p - 1 ( l ) ] T is   th L ag r an g m u ltip lier   v ec to r   an d   [ i( l ) - i( l - 1) ] T U CI - 1 ( l - 1 ) [ i( l ) - i( l - 1 ) ]   d en o tes   th R iem an n ian   d is tan ce   b etw ee n   i( l )   an d   i( l - 1 ) .     E q u atin g   th e   f ir s t d er iv ativ es  o f   th co s t f u n ctio n   t o   ze r o   to   g iv e ,     J ( l ) i( l ) =   0,                           ( 1 8 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   mem o r imp r o ve d   p r o p o r ti o n a te  a ffin p r o jectio n   a lg o r ith fo r     ( S en th il Mu r u g a n   B o o p a la n )   4609   J ( l ) λ( l ) =   0,                    ( 1 9 )     Fro m   ( 1 8 ) ,   th u p d atin g   eq u atio n   o f   th C S - I PAPA b ec o m es ,     i( l) = i( l - 1 ) + U CI (l - 1 ) X ( l) λ( l) .          ( 2 0 )       T h d er iv ativ e   in   ( 1 9 )   g iv es ,     d( l ) - X T ( l ) i( l ) = 0.                              ( 2 1 )     As  in   [ 1 7 ] ,   to   f u r th er   r ed u ce   th co m p u tatio n al  co m p lex it y ,   th clu s ter - s p ar s f ea tu r o f   th ch an n el  an d   s lid in g   win d o tech n iq u e   ca n   b in clu d ed   i n   ( 2 0 ) .   Fo r   i n clu s io n   o f   clu s ter - s p ar s f ea tu r e ,   let  x Q ( l - tQ) = [ x ( l - tQ,   x ( l - tQ - 1 ) , . . ,   x ( l - tQ - Q+ 1 ) ] T ,   with   t=  0 , 1 , . . ,   M - 1 .   T h tQ  ter m   in d icate s   th p r o d u ct  o f   t a n d   Q.     T h en   ( 2 0 )   b ec o m es     i( l ) = i( l - 1 ) + P CI ( l ) λ( l ) .       ( 2 2 )     wh er P CI ( l )   is   a   K ×   p   m atr ix ,   wh o s elem en ts   ar d eter m in ed   b y   th clu s ter   wis p r o d u ct  o f   an d   X.   T h e   s u b s cr ip t CI  o n   P CI ( l )   im p lies   C S - I PAP A.   Pre - m u ltip ly in g   ( 2 2 )   b y   X T ( l )   to   g et      X T ( l ) i( l ) = X T ( l ) i( l - 1 ) + X T ( l ) P CI ( l ) λ( l ).          ( 2 3 )     T h er r o r   v ec to r   e( l )   is     e( l ) = d( l ) - X T ( l ) i( l - 1)       ( 2 4 )     Usi n g   ( 2 1 )   a n d   ( 2 4 )   in to   ( 2 3 )   t o   o b tain   λ ( l )   as   ( 2 5 ) .     λ( l ) = ( X T ( l )P CI ( l ) ) - 1 e( l ) .             ( 2 5 )     Su b s titu tin g   ( 2 5 )   in to   ( 2 2 ) ,   th e   C S - I PAPA u p d ates f ilter   co ef f icien ts   as   ( 2 6 ) .     i( l) = i( l - 1 ) + P C I ( l) ( X T ( l) P C I ( l) ) - 1 e( l) .          ( 2 6 )     I n tr o d u cin g   th e   p ar am eter s   lik r e g u lar izatio n   p ar a m eter   δ CI   an d   c o n v e r g en ce   r ate   µ  in   ( 3 1 )   g iv es  co n tr o l   o v e r   th e   av o id an ce   o f   n u m e r ical  d i f f icu lty   an d   th e   weig h v ec to r   in c r em en t,   r esp ec tiv ely .   T h e n ,   th e   u p d ate  eq u atio n   o f   C S - I PAPA   b ec o m es      i( l ) = i( l - 1 ) + μ P CI ( l )( X T ( l ) P CI ( l )+ δ CI I p ) - 1 e( l )          ( 2 7 )     Dir ec co m p u tatio n   o f    ( 1 ) ( )   n ee d s   p m u ltip licatio n s .   B y   m ak in g   u s o f   th e   clu s ter - s p ar s f ea tu r o f   th ch a n n el,   we  ca n   m in i m is th n u m b er   o f   m u ltip licatio n s   r eq u ir ed ,   esp ec ially   f o r   h ig h er   v alu es  o f   p r o jectio n   o r d er .   P CI ( l )   ju s t r e q u ir es ( Q+ p - 1)   m u ltip licati o n s .   As  in   [ 1 2 ] [ 1 7 ] ,   th h is to r y   o f   p r o p o r tio n ate  ele m en ts   c an   b e   in clu d ed   to   f u r th e r   d e cr ea s th co m p u tatio n al  c o m p lex ity   o f   C S - I PAP A.   T h m atr ix   P CI ( l )   is   s elec ted   in   ter m s   o f   th d ia g o n al  m a t r i x   U t ( l - 1 )   w i t h   t =   0 , 1 , ,   M - 1 .   C h o o s i n g   U _ t ( l - 1) = u t ( l - 1 ) I p ,   w h e r e   u t ( l - 1)   is   th g ain   ter m   f o r   th t th   clu s ter   f r o m   ( 1 5 ) .   E x p an d i n g   P CI ( l )   g iv es  ( 3 . 3 2 ) ,   wh er u ( l - 1 )   h as  th g ain   ter m s   f o r   clu s ter s .   T h   o p er ato r   d e n o tes  Had am ar d   p r o d u ct  o r   elem en t - wis m u ltip licatio n ,   i.e ,   b c = [ b ( 1 ) c( 1 ) ,   b ( 2 ) c( 2 ) ,   , b ( K) c( K) ] T ,   wh er b   an d   ar v ec to r s   o f   len g t h   K.   B y   u s in g   m o d i f ied   g ain   m atr ix   with   t = 0 , 1 ,   , M - 1,     U t ( l - 1 ) = d ia g [ u t ( l - 1 ) , u t ( l - 2 ) , …, u t ( l - p ) ] ,                    ( 2 8 )     th h is to r y   o r   m em o r y   o f   p r o p o r tio n ate  g ain   elem e n ts   o f   clu s ter s   ca n   b in co r p o r ate d   in   th C S - I PAP A.   B y   th is   way ,   to   iter ate  i( l )   to   i ( l +1 ) ,   t h last   p   p r o p o r tio n at elem en ts   ar e   co n s id er e d .   T h u s ,   th m atr ix   P CI ( l b ec o m es  P CI ' ( l )   as sh o wn   in   th e   ( 3 0 ) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   5 Octo b e r   20 25 :   4 6 0 5 - 4 6 1 9   4610   P CI ( l ) =[ u ( l - 1) x Q ( l - tQ )   u( l - 1) x Q ( l - tQ - 1 )   ⋯⋯   u( l - 1) x Q ( l - tQ - p +1 )   ]           ( 2 9 )     P CI ( l ) =[ u ( l - 1 ) x Q ( l - tQ )    u ( l - 2 ) x Q ( l - tQ - 1 )   ⋯⋯     u( l - p) x Q ( l - tQ - p +1 ) ]                  ( 3 0 )     3 . 1 .     P r o po s ed  a lg o rit hm     T h p r o p o s ed   alg o r ith m   MCS - I PAPA  h as   two   ad v an ta g es  b ec au s o f   th is   m o d if icatio n .   Firstl y ,   as   th p r o p o s ed   MCS - I PAPA  tak es  in to   ac co u n th e   last   p   p r o p o r tio n ate  elem e n ts ,   th c o n v er g en ce   r ate  an d   tr ac k in g   im p r o v e   as  p   in cr ea s es.  An o th er   ad v a n tag is   th at   th co m p u tatio n al  c o m p lex ity   o f   th e   p r o p o s ed   is   lo wer   th an   th at  o f   th C S - I PAPA.  T h is   ad v an tag in   ter m s   o f   co m p u tatio n al  co m p lex ity   is   s h o wn   in   T ab le  1 .   T h eq u atio n   o f   P CI ' ( l )   is   ex p r ess ed   in   r ec u r s iv r ea lizatio n   as   ( 3 1 ) ,     P CI ' ( l ) = [ u ( - 1 ) x Q ( l - t Q ) P - 1 ' ( l - 1) ]     ( 3 1 )     w h er e   in   th m at r ix   P - 1 ' ( l - 1)   is P - 1 ' ( l - 1) = [ u ( l - 2) x Q ( l - t Q - 1) u( l - p) x Q ( l - t Q - p +1 ) ] .   B y   s u b s titu tin g   P CI ( l )   with   P CI ' ( l )   in   ( 2 7 ) ,   t h u p d ate  eq u atio n   o f   th p r o p o s ed   alg o r ith m   is   g iv en   b y     i ( l ) = i ( l - 1 ) + μ P CI ' ( l ( X T ( l ) P CI ' ( l + δ CI I p ) - 1 e( l )           ( 3 2 )     T h m atr ix   P - 1 ' ( l - 1)   h as  th f ir s p - 1   co lu m n s   o f   P CI ' ( l - 1) .   T h f ir s p - 1   co lu m n s   o f   P CI ' ( l - 1)   ca n   b e   u tili ze d   d ir ec tly   f o r   c o m p u tin g   th m atr ix   P CI ' ( l ) ,   th er e b y   s av i n g   co m p u tatio n s .   Fo r   P CI ' ( l - 1) ,   th e   s lid in g   win d o w   tech n iq u ca n n o b ap p lied .   Fro m   ( 3 4 ) ,   it  r eq u ir es  p m u l tip licatio n s ,   to   f in d   P CI ( l ) .   H o wev er ,   f r o m   ( 3 0 ) ,   t o   co m p u te  P CI ' ( l ) ,   it  r eq u ir es  K’   m u l tip licatio n s   o n ly .   T h is   ad v an t ag in   co m p u tatio n   b ec o m es  s ig n if ican t   f o r   h ig h er   p r o jectio n   o r d er   p .   T h u s ,   f r o m   t h co s f u n ctio n   o f   th C S - I PAPA,  th u p d ate  eq u atio n   o f   th e   p r o p o s ed   alg o r ith m   is   d er iv ed .   T h co n d itio n   f o r   m ea n - s tab ilit y   is   d er iv ed   in   t h n ex t sectio n .       4.   ST A B I L I T O F   M C S - I P AP   T h s tab ilit y   o f   th e   MCS - I PAPA  is   s tu d ied   in   th is   s ec tio n .   s tep - s ize  µ  p lay s   m ajo r   r o le   to   en s u r th co n v e r g en ce   o f   a n y   k in d   o f   ad a p tiv alg o r ith m .   T h h ig h er   t h v alu e   o f   t h s tep   s ize,   th h ig h er   th e   p o s s ib ilit y   o f   th ad ap tiv alg o r ith m   to   d iv er g f r o m   th o p tim u m   s o lu tio n .   T h er ef o r e,   it  is   h ig h ly   im p o r tan t   to   s tu d y   th e   r an g o f   µ  t h at  c o n f ir m s   th e   co n v er g e n ce   in   t h m ea n .   i.e . ,   E ( ĩ ( ) ) →0   as  .   T h is   s ec tio n   f in d s   th r a n g o f   s tep - s ize  th at  en s u r es  s tab ilit y   in   th m ea n .   T h weig h t - er r o r   v ec t o r   is   s tated   as  ĩ( l ) = h - i( l ) .   I n   ter m s   o f   t h ĩ( l ) ,   t h u p d atin g   eq u atio n   o f   th MCS - I PAPA,  i.e . ,   ( 3 2 )   b ec o m es .     ĩ( l ) =ĩ( l - 1) - µ P CI ' ( l )(X T ( l )   P CI ' ( l ) CI I p ) - 1 e( l ).       ( 3 3 )     Su b s titu tin g   e ( l ) = a( l )+   X T ( l ) ĩ ( l - 1)   in   ( 3 3 ) .     y ield s   ĩ ( l ) = ĩ ( l - 1) - μ P CI ' ( l )( X T ( l ) P CI ' ( l )+ δ CI I p ) - 1 ×( a( l )+   X T ( l ) ĩ ( l - 1 ) )                    ( 3 4 )     T h f o llo win g   v alid   ass u m p tio n s   ar m ad to   m ak c o n v er g e n ce   an aly s is   tr ac tab le  [ 2 8 ] [ 3 0 ] .   Ass u m p tio n   1   .   T h n o is a ( l )   is   ass u m ed   to   b ze r o - m ea n   W GN.   Ass u m p tio n   2   .   T h weig h t - e r r o r   v ec to r   ĩ ( l ) ,   th in p u v ec to r   x ( l ) ,   an d   th n o is a ( l )   ar s tatis tically   in d ep en d en t o f   ea ch   o t h er .   Ass u m p tio n   3 .   T h e   alg o r ith m   co n v er g es to   o p tim u m   in   th e   m ea n - s q u ar s en s e.   B y   tak in g   s tatis tical  m ea n   o r   e x p ec tatio n   o n   b o th   s id es o f   ( 3 4 )   to   g i v e     E( ĩ ( l ) ) = E ( ĩ ( l - 1 ) ) - μ E ( ( P CI ' ( l )( X T ( l ) P CI ' ( l )+ δ CI I p ) - 1 a( l )) - μ E ( ( P CI ' ( l )( X T ( l ) P CI ' ( l )+ δ CI I p ) - 1   X T ( l ) ĩ ( l - 1 ) )     ( 3 5 )     Usi n g   Ass u m p tio n   2   in   ( 3 5 ) ,   t h ev o lu tio n   o f   th m ea n   o f   t h weig h t - er r o r   v ec to r   is   g iv en   b y   ( 3 6 ) .     E( ĩ ( l ) ) =( I - μ B ) E ( ( ĩ ( l - 1 ) ) ,   ( 3 6 )     wh er B= E(P CI ' ( l )( X T ( l ) P CI ' ( l )+ δ CI I p ) - 1   X T ( l ) ) .   E(( ĩ ( l - 1 ) )   ca n   co n v er g e   if   φ ( I - μ B)   <1   wh er ein   φ ( . )   r ep r esen ts   th s p ec tr al  r ad iu s   o f   th B .   B y   E ig en v alu d ec o m p o s itio n ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   mem o r imp r o ve d   p r o p o r ti o n a te  a ffin p r o jectio n   a lg o r ith fo r     ( S en th il Mu r u g a n   B o o p a la n )   4611   B= W Λ W T ,          ( 3 7 )     wh ich   lead s   to     µ = ( µ )              ( 3 8 )     T h ab o v eq u atio n   b ec o m es      Φ(I K - µB)= Φ ( I K - µΛ) <1               ( 3 9 )     wh er W   is   th eig en v ec to r   a n d   Λ  is   d iag o n al  m atr i x   h av i n g   th eig en v alu es  o f   R .   Fro m   ( 3 9 ) ,   it  ca n   b s ee n   th at  th co n v er g en ce   in   th m e an   s en s is   en s u r ed   o r   g u ar a n t ee d   f o r   th f o llo win g   r a n g o f   µ .       0 < 2 φ ( B )       ( 4 0 )     T h ab o v co n d itio n   o n   µ  in   ( 4 0 )   g iv es  th n ec ess ar y   an d   s u f f icien co n d itio n   f o r   th p r o p o s ed   MCS - I PAPA   to   b s tab le.         5.   SI M UL A T I O R E S UL T AND  DIS CUSS I O N   Sev er al  s im u latio n   ex p er im e n ts   ar ca r r ied   o u to   e v alu ate  th p er f o r m a n ce   o f   th e   p r o p o s ed   alg o r ith m   MCS - I PAPA.  W h il p er f o r m in g   s im u latio n s ,   th e   len g th   o f   t h ad ap tiv f ilter   N   is   s et  to   1 0 2 4 ,   an d   th u n k n o wn   s y s tem   is   ass u m ed   to   h av th s am len g th .   T h p er f o r m an ce   o f   th p r o p o s ed   alg o r ith m   is   co m p ar ed   with   th at   o f   ex is tin g   alg o r ith m s   lik th e   I PAPA,  MI PAPA,  B S - I PAPA,  an d   th C S - I PAPA  with   r esp ec to   co n v er g e n ce   r ate,   NM ,   an d   tr ac k in g .   T wo   d if f e r en ty p es  o f   clu s ter s ,   as  s h o wn   in   Fig u r e   2 ,   ar e   u s ed .   Fig u r 2 ( a )   is   s in g le  c lu s ter   wh ich   h as  3 2   n o n - ze r o   ac tiv tap s   in   th e   r an g e   [ 2 8 1 ,   3 1 2 ]   an d   d o u b le   clu s ter   is   s h o wn   in   Fig u r 2 ( b ) ,   wh ich   h as  6 4   n o n - ze r o   tap s ,   3 2   ea ch   in   th r a n g es  [ 2 8 1 ,   3 1 2 ]   an d   [ 7 9 3 ,   8 2 4 ] .   Fo r   th n etwo r k   ec h o   p ath   a n d   s atellite  ec h o   p ath ,   th im p u ls r esp o n s is   r eg ar d ed   as  s in g le  clu s ter   an d   d o u b le   clu s ter   s p ar s s y s tem ,   r esp ec tiv ely .   I n   all  th e x p e r im en ts ,   to   s tu d y   th e   tr ac k in g   b eh a v io r   o f   th e   p r o p o s ed   MCS - I PAPA,  f ir s t,   s in g le  clu s ter   i s   u tili ze d   a n d   th en   ab r u p tly ,   th s im u latio n   en v ir o n m en is   s h if ted   to   d o u b le  clu s ter .   C o lo r ed   n o is e,   wh ite  g au s s ian   n o is e   ( W GN) ,   an d   s p ee ch   a r e   th th r ee   d if f e r en in p u s ig n a ls   th at  ar u s ed   in   th s im u latio n s .   B y   f ilt er in g   th W GN  th r o u g h   s y s t em   o f   f ir s t - o r d er   with   a   p o le  at   0 . 8 ,   c o lo r ed   n o is is   o b tain ed .   A   s p ee ch   s ig n al  i n   r ea l - tim s am p led   at  8   k Hz  is   u tili ze d .   An   i n d ep e n d en t   W GN  with   s ig n al - to - n o is r atio ,   SNR = 3 0   d B   i s   ad d ed   to   th b ac k g r o u n d   o f   th u n k n o wn   s y s tem .   co m m o n   p er f o r m an ce   m etr ic   f o r   a d ap tiv e   alg o r ith m s   is   N wh ich   is   d ef in e d   as   1 0 lg {( h - i‖ ) 2 / ( h ) 2 } .   I n   all  th s im u latio n s ,   th e   en tire   p r o ce s s   is   d iv id ed   in to   two   h a lv es,  th f ir s h alf   allo tted   f o r   th p er f o r m an ce   s tu d y   o f   s i n g le  clu s ter   an d   th e   s ec o n d   h alf   f o r   th d o u b le  cl u s ter .   I n   th f o llo win g   s ec tio n s ,   th im p ac o f   v ar y in g   clu s ter   s ize  Q’   an d   th p ar am eter   β’  o n   th p er f o r m a n ce   o f   th e   p r o p o s ed   is   s tu d ied .   T h en   th p er f o r m an ce   c o m p a r is o n   s tu d y   is   d o n e   b y   co m p ar in g   th p r o p o s ed   MCS - I PAP with   th ex is tin g   alg o r ith m s   in   th liter atu r e.           ( a)   ( b )     Fig u r 2 .   C lu s ter - s p ar s ch an n el  with   its   ty p es ( a)   s in g le  clu s ter   an d   ( b )   d o u b le   clu s ter       5 . 1 .     P er f o r m a nce  curv es  o f   M CS - I P AP wit diff er ent   β   W ith   in p u ts   lik co lo r ed   n o is e,   W GN  an d   s p ee ch   s ig n al,   th ef f ec t o f   v a r y in g   β’  o n   th p e r f o r m a n ce   o f   th p r o p o s ed   MCS - I PAPA  is   s tu d ied ,   with   clu s ter   s ize  Q,   s et  to   2 .   L o w,   m ed iu m   an d   h i g h   v alu es  o f   β  ar e   ch o s en   as  i n   [ 1 6 ] Fig u r e   3   s h o ws  th ef f ec o f   β   o n   MCS - I PAPA.  Fo r   d if f er e n v alu es  o f   β  lik 2 ,   5 ,   1 0 ,   an d   2 0 ,   th s im u latio n   r esu lts   ar s h o wn   in   Fig u r e s   3 ( a )   a n d   3 ( b )   f o r   co l o r ed   n o is an d   W GN,   r esp ec tiv ely .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   5 Octo b e r   20 25 :   4 6 0 5 - 4 6 1 9   4612   T h p r o p o s ed   MCS - I PAPA  s h o ws  r e d u ctio n   in   NM   with   an   in c r ea s in   β  f o r   s in g le  a n d   d o u b l e   clu s ter   s y s tem s ,   f o r   c o lo r ed   n o is an d   W GN  in p u ts .   I f   β = 1 0 ,   th e   MCS - I PAPA  s h o ws  th b est  NM   f o r   b o th   th in p u ts .   T h e   MCS - I PAPA  s h o ws  h ig h er   m is alig n m en t   f o r   o th er   v alu es  o f   β.  B u t,  f o r   s p ee ch   s ig n al,   th e   MCS - I PAP s h o ws  d ec r ea s in   NM   with   d ec r ea s in   β  f o r   b o th   s in g le  a n d   d o u b l clu s ter   s y s tem s ,   attain in g   th e   m in im u m   NM   f o r   β = 2 .   So ,   f o r   th e   p e r f o r m an ce   co m p a r is o n   o f   th e   p r o p o s ed   with   th alg o r ith m s   lik th I PAPA,  MI PAPA,  B S - I PAPA,  an d   th C S - I PAPA,  t h p ar am eter   β is   s elec ted   as 1 0   f o r   c o lo r ed   n o is e   an d   W GN,   β as 2   f o r   th s p ee ch   s ig n al.           ( a)   ( b )     Fig u r 3 .   E f f ec t o f   β   with   d if f er en t v alu es o n   MCS - I PAPA ( μ = 0 . 0 1 ; SNR = 3 0   d B ; p = 2)   ( a)   co lo r ed   i n p u t   a n d   ( b )   W GN  in p u t       5 . 2 .   P er f o rma nce  curv es o f   M CS - I P AP wit h diff er ent   clus t er   s ize  Q   Var y in g   th e   clu s ter   s ize  ca n   af f ec NM .   L o w,   m e d iu m   a n d   h ig h   v alu es  o f   Q   ar c h o s en   as  in   [ 1 6 ] .   C lu s ter s   o f   d if f er en s izes  o f   Q = 2 ,   4 ,   8 ,   1 6   ar s elec ted   to   s tu d y   an d   ev alu ate  th e f f ec o f   o n   th e   p er f o r m an ce   ch a r ac ter is tics   o f   th MCS - I PAPA.  Fo r   th ese  s tu d ies,  th p ar am eter   β  is   s et  to   v alu o f   1 0   f o r   b o th   c o lo r ed   n o is an d   W GN,   2   f o r   s p ee c h   in p u t.  Fig u r 4   s h o ws  th ef f ec t   o f   v ar y i n g   o n   MCS - I PAPA.  T h r esu lts   ar s h o wn   in   Fig u r es   4 ( a )   an d   4 ( b )   f o r   co lo r ed   n o is an d   W GN  in p u t,  r esp ec tiv ely .             ( a)   ( b )     Fig u r 4 .   E f f ec t o f   with   d if f er en t v alu es o n   MCS - I PAPA ( μ = 0 . 0 1 ; SNR = 3 0   d B ; p = 2)   ( a )   co lo r ed   i n p u ( p o le  at  0 . 8 )   a n d   ( b )   W GN  in p u t       Fig u r 5   s h o ws  th p ar am eter   v ar iatio n   o n   MCS - PAPA  w ith   s p ee ch   in p u t.  Fig u r e s   5 ( a )   an d   5 ( b )   d ep ict  th ef f ec o f   β  an d   o n   MCS - I PAPA,  r esp ec tiv ely .   T h NM   o f   th p r o p o s ed   MCS - I PAPA  d ec r ea s es   with   clu s ter   s ize,   f o r   all  th r ee   in p u ts ,   f o r   b o th   s in g le  an d   d o u b le  clu s ter s .   T h MCS - I   PAPA  s h o ws  th least   NM   f o r   Q = 2.   T h u s ,   th two   p ar am eter s   β’  a n d   Q’   r esu lt   in   th p er f o r m an ce   im p r o v e m en o f   th MCS - Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   mem o r imp r o ve d   p r o p o r ti o n a te  a ffin p r o jectio n   a lg o r ith fo r     ( S en th il Mu r u g a n   B o o p a la n )   4613   I PAPA  in   ter m s   o f   NM .   B y   s e lectin g   s u itab le  v alu es  to   β  a n d   th clu s ter   s ize  Q,   th e   MCS - I PAPA  is   s h o wn   to   o u tp er f o r m   t h co m p etin g   a lg o r ith m s   lik th e   I PAPA,  MI PAPA,  B S - I PA PA,  an d   t h C S - I PAPA  f o r   id en tify in g   t h s in g le  o r   d o u b l clu s ter   ch an n els.           ( a)   ( b )     Fig u r 5.   E f f ec t o f   d if f e r en t β  an d   o n   MCS - I PAPA with   s p ee ch   in p u t   = 0 . 0 2 ; SNR = 3 0   d B ; p = 2) :     ( a)   v ar y in g   β   an d   ( b )   v ar y in g   Q       5 . 3 .     P er f o r m a nce  curv es  o f   M CS - I P AP a g a ins t   ex is t ing   a lg o rit h m s   Fig u r 6   s h o ws  th p er f o r m a n ce   cu r v es  o f   MCS - I PAPA  an d   o th er   al g o r ith m s .   T h p e r f o r m a n ce   ev alu atio n s   ar illu s tr ated   in   Fig u r es   6 ( a )   an d   6 ( b ) ,   with   c o lo r ed   n o is in p u an d   W GN  in p u t,  r esp ec tiv ely .   W ith   s p ee ch   in p u t,  Fig u r 7   d ep icts   th p er f o r m an ce   c u r v es   o f   MCS - I PAPA   an d   o th er   alg o r ith m s .   Fo r   SNR s     3 0   d B   an d   1 5   d B ,   th p er f o r m an ce   ev alu atio n   p l o ts   ar s h o wn   in   Fig u r es   7 ( a )   an d   7 ( b )   r esp ec tiv ely .   T h e   r esu lts   o f   s im u latio n   tr ials   th at   ar in d ep en d en tly   r e p ea ted   1 5   tim es a r en s em b le  av er ag e d   to   o b tain   th p lo ts .   Fro m   th e   o b tain e d   p l o ts ,   it  ca n   b e   s ee n   th at   th MCS - I PAPA  is   s h o win g   h ig h er   p e r f o r m a n ce   th a n   th e   alg o r ith m s   lik e   th M I PAPA,  I PAPA,  B S - I PAP A,   an d   t h C S - I PAPA.  Fo r   th c o lo r ed   n o i s an d   W GN  in p u t,  th p ar am eter   β  is   m ain tain ed   at  1 0 ,   f o r   th MCS - I PAPA  a n d   β  is   s et  to   2   f o r   th s p ee c h   in p u t.  Fo r   all  th e   th r ee   clu s ter   o r   b lo c k   alg o r ith m s   n am ely   th MCS - I PAPA,  C S - I PAP A,   an d   th B S - I PAP A,   th s am clu s ter   s ize  o f   Q = 2   is   ass ig n ed .   T h e   s tep - s ize  f o r   ea ch   alg o r ith m   is   s et  to   µ = 0 . 0 1   f o r   c o lo r ed   n o is an d   W GN  in p u t,   b u µ  is   s et  to   0 . 0 2   f o r   s p ee ch   s ig n al  in p u t.  T h r e g u lar izatio n   p ar am ete r   f o r   I PAPA  is   ch o s en   as  δ = 0 . 0 1 .   T h e   r eg u lar izatio n   p ar a m eter   is   s et   to   0 . 0 1   f o r   th o th er   f o u r   al g o r ith m s   as  well.   T h p ar am et er   α   is   ch o s en   as  0 .   W ith   β = 1 0   an d   Q = 2 ,   th p r o p o s ed   MCS - I PAPA,  f o r   co lo r e d   n o is an d   W GN  in p u ts ,   s h o ws  b etter   tr ac k in g ,   less er   NM   th an   th ex is tin g   alg o r ith m s .   Fig u r es   6 ( a )   an d   6 ( b )   s h o th at  th MCS - I PAPA  s h o ws  h ig h er   co n v er g en ce   r ate,   b etter   tr ac k i n g ,   less er   NM ,   th an   th e x is tin g   alg o r ith m s .             ( a)   ( b )     Fig u r 6 .   Per f o r m an c cu r v es o f   MCS - I PAPA a n d   o th er   alg o r ith m s   ( μ = 0 . 0 1 ; SNR = 3 0   d B ;   p = 2) :     ( a)   co lo r e d   in p u t ( p o le  at  0 . 8 )   ( b )   W GN  in p u t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   5 Octo b e r   20 25 :   4 6 0 5 - 4 6 1 9   4614   Fro m   Fig u r e s   7 ( a )   an d   7 ( b ) ,   it   is   s h o wn   th at  th M C S - I PA P s h o ws  h ig h er   co n v er g e n ce   r ate,   b etter   tr ac k in g ,   a n d   less er   NM ,   th a n   th C S - I PAPA  f o r   s p ee ch   s ig n al  in p u as  well.   I n   Fig u r e   7 ( b ) ,   im p r o v em e n in   NM   is   2 0 an d   2 9 %,  s h o wn   b y   MCS - I PAPA  o v er   th C S - I PAPA,  f o r   s in g le  clu s ter   in   [ 1 0 0 0 ,   6 0 0 0 ]   an d   d o u b le   clu s ter   in   th e   iter atio n   r an g e   [ 4 1 0 0 0 ,   4 7 0 0 0 ] ,   r esp e ctiv ely .   Fro m   th e   ab o v d is c u s s ed   an aly s es,  th e   ch o s en   p ar am eter s   o f   β  an d   s h o h ig h er   p er f o r m a n ce   f o r   th MCS - I PAPA  in   ter m s   o f   co n v er g en ce   r ate,   NM ,   an d   tr ac k in g .   Hen ce ,   th e   s im u latio n   p lo ts   p r o v th at   th e   p r o p o s ed   MCS - I PAPA  o u tp e r f o r m s   th e   ex is tin g   alg o r ith m s   lik I PAPA,  MI PAPA,  B S - I PA PA,  an d   C S - I PAP f o r   s in g le  an d   d o u b le  clu s te r   ch an n els.           ( a)   ( b )     Fig u r 7 .   Per f o r m an c cu r v es o f   MCS - I PAPA a n d   o th er   alg o r ith m s   f o r   s p ee c h   in p u t ( μ = 0 . 0 2 ;   p = 2) :     ( a)   SNR =3 0   d B   an d   ( b )   SNR =1 5   d B       5 . 4 .     P er f o r m a nce  curv es f o r   hig her  pro j ec t io n o rder   a nd   dis per s iv s y s t em s     I n   th is   s ec tio n ,   s tu d y   is   ex te n d ed   f o r   h ig h e r   p r o jectio n   o r d er   an d   d is p er s iv s y s tem .   Fig u r 8   s h o ws  th p er f o r m a n ce   cu r v es  o f   al g o r ith m s   f o r   h ig h er   p r o jectio n   o r d er   a n d   d is p er s iv s y s tem .   W ith   s p ee ch   as  in p u t,  Fig u r e s   8 ( a )   an d   8 ( b )   s h o th p e r f o r m an ce   c o m p ar is o n   o f   th MCS - I PAPA,  o v er   t h C S - I PAPA,  an d   th MI PAPA  f o r   h ig h er   p r o je ctio n   o r d er   a n d   d is p er s iv s y s tem ,   r esp ec tiv ely .   B y   en s em b le  av er ag in g   o f   1 0   in d ep en d en tr ials ,   th e   s im u latio n   p lo ts   ar e   o b tain ed .   T h I P APA  b eh av es  alm o s lik an   NL MS  alg o r ith m   f o r   = 2 So ,   it is   h ig h ly   n ec ess ar y   to   ch ec k   th p er f o r m an ce   o f   th p r o p o s ed   MCS - I PAPA f o r   h ig h er   p r o jectio n   o r d er .           ( a)   ( b )     Fig u r 8.   Per f o r m an c cu r v es o f   MCS - I PAPA,  C S - I P APA  a n d   MI PAPA f o r   s p ee ch   i n p u t :   ( a)   h ig h er   p r o jectio n   o r d er   ( p = 6 ,   ξ=0 . 8 7 5 ,   μ =0 . 0 2 )   an d   ( b )   d is p er s iv s y s tem   ( ξ=0 . 4 8 4 ,   μ = 0 . 0 5 ,   p =2 )       6.   CO M P UT AT I O NAL   CO M P L E X I T Y   I n   T ab le  1 ,   th co m p u tatio n al   co m p lex ity   o f   th p r o p o s ed   alg o r ith m   is   co m p ar e d   ag ain s d if f er en t   alg o r ith m s   n am el y   th e   I PAPA,  MI PAPA,  B S - I PAPA,  C S - I PAPA  in   ter m s   o f   th to tal   n u m b er   o f   ad d itio n s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.