I nte rna t io na l J o urna l o f   P o wer   E lect ro nics   a nd   Driv S y s t em   ( I J P E DS)   Vo l.  16 ,   No .   4 Dec em b er   20 25 ,   p p .   2 3 8 1 ~ 2 3 8 8   I SS N:  2 0 8 8 - 8 6 9 4 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijp ed s . v 16 . i 4 . p p 2 3 8 1 - 2 3 8 8           2381       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij p e d s . ia esco r e. co m   Att en ua ted - cha tt ering  glo ba seco nd - o rder   slidi ng  m o de loa frequen cy  contro l ler f o r m ulti - regi o n linked pow er s y stems       P ha n - T ha nh   Ng uy en 1 ,   Co ng - T ra ng   Ng uy en 2   1 D e p a r t me n t   o f   F u n d a me n t a l o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   F a c u l t y   o f   El e c t r i c a l   a n d   El e c t r o n i c s   E n g i n e e r i n g ,   H o   C h i   M i n h   C i t y   U n i v e r si t y   o f   Te c h n o l o g y   a n d   E d u c a t i o n ,   H o   C h i   M i n h   C i t y ,   V i e t n a m   2 P o w e r   S y st e m O p t i mi z a t i o n   R e sea r c h   G r o u p ,   F a c u l t y   o f   El e c t r i c a l   a n d   El e c t r o n i c En g i n e e r i n g ,   T o n   D u c   Th a n g   U n i v e r s i t y ,   H o   C h i   M i n h   C i t y ,   V i e t n a m       Art icle  I nfo     AB S T RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ma r   1 2 ,   2 0 2 5   R ev is ed   Au g   1 ,   2 0 2 5   Acc ep ted   Sep   2 ,   2 0 2 5       In   t h is  st u d y ,   a   n e c h a tt e ri n g - f re e   g lo b a se c o n d - o r d e r   sli d in g   m o d e   lo a d   fre q u e n c y   c o n tro l ler  (CG S OSM LF C)  is  p ro p o se d   fo m u lt i - re g i o n   li n k e d   p o we sy ste m (M RLP S ) .   Ke y   a c h iev e m e n ts  o t h is  p a p e i n c lu d e i a   n e w   CG S OSM LF is  in v e stig a ted   u t il izin g   o n ly   o u tp u v a riab les ii )   a   g lo b a l   ste a d in e ss   o th e   M RL P S   is  e n su re d   b y   e li m in a ti n g   t h e   h it ti n g   p h a se   in   trad it io n a slid in g   m o d e   c o n tr o ( TS M C) ,   a n d   th e   u n d e sira b le  h i g h - fre q u e n c y   v a c il lati o n   m a rv e in   t h e   c o n tro sig n a is  e fficie n tl y   le ss e n e d   b y   u ti li z i n g   th e   se c o n d - o rd e r   sli d i n g   m o d e   c o n tro l   tec h n iq u e .   F irst l y ,   a   n o v e e stim a to is  c o n str u c ted   to   c o n jec tu re   th e   imm e a su ra b le  sta te  v a riab les   o f   th e   M RLP S .   T h e n ,   a n   e stim a to r - b a se d   CG S OSM LF C   is   sy n t h e siz e d   t o   fo rc e   th e   sta tes   o th e   c o n tr o ll e d   p lan t   in t o   th e   a n ti c ip a ted   sw it c h i n g   s u rf a c e   at   a n   in sta n c e   ti m e   a n d   a tt e n u a te  th e   c h a tt e rin g   p h e n o m e n o n   in   t h e   c o n tr o l   in d ica ti o n .   Ad d it i o n a ll y ,   t h e   t o tal   M RLP S sta b il it y   a n a l y sis  is  e x e c u ted   b y   a p p ly in g   th e   Ly a p u n o v   f u n c ti o n   th e o ry   a n d   li n e a m a tri x   in e q u a li ty   (LM I),   c o n firmin g   t h e   p ra c ti c a b il it y   a n d   re li a b il it y   o t h e   m e th o d Las tl y ,   s imu latio n   o u tco m e o n   th re e - z o n e   li n k e d   p o we sy ste m   a re   f u rn is h e d   to   a u th e n ti c a te  th e   u se fu l n e ss   a n d   a d v a n ta g e s o t h e   p ro p o se d   tec h n i q u e .   K ey w o r d s :   C h atter in g   r em o v al   Glo b al  s lid in g   m o d e   co n tr o l   I n ter co n n ec ted   p o wer   s y s tem s   L o ad   f r e q u en c y   co n tr o l   R en ewa b le  en er g y   s o u r ce s   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   C o n g - T r an g   Ng u y en   Po wer   Sy s tem   Op tim izatio n   R esear ch   Gr o u p ,   Facu lty   o f   E le ctr ical  an d   E lectr o n ics E n g in e er in g   T o n   Du c   T h an g   U n iv er s ity   Ho   C h i M in h   C ity ,   Vietn am   E m ail:  n g u y e n co n g tr an g @ td t u . ed u . v n     NO M E N CL A T UR E     PS   :   Po wer   s y s tem           :   T r an s p o s o f   A   m atr ix   MRLPS   :   Mu lti - r eg io n   lin k ed   p o wer   s y s tem   ( )   :   Ou tp u t sig n al   W T G   :   W in d   p o wer   g e n er atio n     [ ̂ ( ) ]   :   Sin g le  p h ase  s witch in g   s u r f ac e   L FC   :   L o ad   f r e q u en c y   co n tr o   [ ̂ ( ) ]   :   Sli d in g   m an if o ld   f u n ctio n   VSC   :   Var iab le  s tr u ctu r co n tr o   ( , )   :   Dis tu r b an ce   in p u t sig n al   T SMC   :   T r ad itio n al  s lid in g   m o d c o n tr o   ( )   :   No r m   o f   s tate  v ec to r   ( )   GSMC   :   Glo b al  s lid in g   m o d e   co n tr o      :   Ma x im u m   eig en v alu e   HOSMC   :   Hig h - o r d e r   s lid in g   m o d c o n tr o   ( )   :   C o n tr o l sig n al   SOSM C   :   Seco n d - o r d er   s lid in g   m o d e   co n tr o l   ( )   :   Dy n am ics er r o r   o f   esti m ato r   () zt   :   States   o f   th p lan t   , , ̄   :   Po s itiv co n s tan ts       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J  Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  16 ,   No .   4 Dec em b er   20 25 :   2381 - 2 3 8 8   2382   1.   I NT RO D UCT I O N   T h o p er atio n   o f   PS   is   ex tr e m ely   co m p lex   d u e   to   t h v ar iab ilit y   o f   lo ad   r eq u ests   an d   r en ewa b le   g en er atio n ,   an d   esp ec ially   th e   ex ch an g e   o f   elec tr icity   b etwe e n   n eig h b o r in g   a r ea s .   T h e   PS   co n tr o s ch em es  a r e   u s ed   to   m ain tain   th e   s y s tem   in   a   s tab le  s tate,   an d   L FC   is   an   im p o r tan t   co n tr o is s u in   wid e - ar ea   PS   o p er atio n s   [ 1 ] - [ 3 ] .   Am o n g   co n tr o ap p r o ac h es,  s lid in g   m o d co n tr o ( SMC )   is   o n s u ch   well - k n o wn   co n tr o l   p er f o r m an ce   d u to   s tu r d i n ess ,   f in ite  tim co n v er g en ce ,   in s en s itiv ity   to   p er tu r b atio n s ,   an d   u n ce r tain ties   [ 4 ] ,   [ 5 ] .   T h e   r en o w n ed   SMC   is   s p ec if ic  ca teg o r y   o f   VSC ,   wh ich   is   th e   n ewe s o n g o in g   m o v em en t   in   m an y   d if f er en t   f ield s ,   s u c h   as  h y d r a u lic/air - f illed ,   tr a n s m is s io n   o f   d ata,   s tr u ctu r es   o f   s atellites ,   r o b o tic  m a n ip u lato r ,   an d   esp ec ially   i n   th e   L FC   o f   PS s   [ 6 ] - [ 1 0 ] .   Alth o u g h   th VSC   in   s lid in g   m o d h as  n o tewo r th y   ac co m p lis h m en ts   in   L FC   p r o b lem s ,   o v er all,   t h er ar e   s till   two   m is s io n s   th at  s h o u ld   b e   u n r av eled   f o r   VSC - b ased   L FC   p r o b lem s   o f   PS s : T h is   in clu d es:  i )   Ou tp u t f ee d b ac k : A   s h o r tco m in g   o f   th cu r r en in v esti g atio n s   is   th at  all  v ar iab les  o f   th PS s   h av to   b e   ac ce s s ib le.   T h is   is   u n ac ce p tab le  in   v ar io u s   p r ac tic al  p lan co n t r o ls .   n ew   o u tp u f ee d b ac k   s lid in g   m o d lo a d   f r e q u en c y   co n t r o ller   ( OFSMC L FC )   i s   p r o p o s ed   f o r   MRLPS  em p lo y in g   o n l y   o u tp u in f o r m atio n an d   ii )   C h atter in g   p h en o m en o n   er a d icatio n n e OFSMC L FC   n o o n ly   p r o m is es  th en tire   s tead in ess   o f   th MRLPS  b u also   r ed u ce s   th u n d esira b le  h ig h - f r eq u en c y   o s cillatio n s   in   co n tr o in d icati o n   b y   u tili zin g   th SOSMC .   T o   f in d   th s o lu tio n   to   th o u tp u f ee d b ac k   c o n tr o s tr ateg y   p r o b lem   in   th f ir s task   ab o v e,   s ig n if ica n n u m b er   o f   s tu d ies  h av b ee n   p r o p o s ed   in   L FC ,   as  m en tio n ed   i n   T ab le  1 .       T ab le  1 .   Su m m a r y   o f   k e y   wo r k s   r elate d   to   th f i r s t ta s k   o f   n o tab le  SMC - b ased   L FC   m eth o d s   R e f .   S y st e ms   K e y   c o n t r i b u t i o n s   A p p r o a c h e s/ t e c h n i q u e s   Li mi t a t i o n s   [ 6 ]   M i c r o g r i d   s y st e m   I mp r o v e d   f r e q u e n c y   r e g u l a t i o n   u si n g   o p t i m i z e d   S M C   S l i d i n g   mo d e   c o n t r o l   l a w   v i a   t e a c h i n g   l e a r n i n g   o p t i mi z a t i o n   Tr a d i t i o n a l   S M C ,   t h e   c h a t t e r i n g   i ss u e   r e m a i n s   [ 7 ]   M u l t i - r e g i o n   p o w e r   p l a n t   w i t h   t i me   d e l a y s   a n d   p e r t u r b a t i o n s   R o b u st   f r e q u e n c y   r e g u l a t i o n   h a n d l i n g   d e l a y s a n d   p e r t u r b a t i o n s   F u l l - o r d e r   t e r mi n a l   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l l e r   Tr a d i t i o n a l   S M C ,   r o b u st n e s s o n l y   i n   t h e   sl i d i n g   p h a se   [ 1 1 ]   M u l t i - a r e a   i n t e r c o n n e c t e d   e n e r g y   p l a n t   A d d r e ss e d   l o a d   f r e q u e n c y   a d j u s t me n t   u s i n g   t e r mi n a l   S M C   I n t e g r a l   a n d   d e r i v a t i v e   t e r mi n a l   sl i d i n g   m o d e   c o n t r o l   R e q u i r e s f u l l   s t a t e   mea s u r e me n t   [ 1 2 ]   I n t e r c o n n e c t e d   m u l t i - f i e l d   p o w e r   p l a n t s   D e c e n t r a l i z e d   S M C   w i t h   o p t i m i z e d   p a r a m e t e r s   D e c e n t r a l i z e d   s l i d i n g   m o d e   LF C   o p t i m i z e d   v i a   mo d i f i e d   P S O   F u l l   st a t e   a c c e ssi b i l i t y   a ssu m e d   [ 1 3 ]   I n t e r c o n n e c t e d   p o w e r   s y st e ms    I mp r o v e d   e st i ma t o r - b a se d   S M C   I n t e g r a l   S M C   b a se d   o n   st a t e   e st i mat o r   C h a t t e r i n g   i ss u e   r e m a i n s       Nev er th eless ,   au th o r s   in   T ab l 1   h av u s ed   th T SMC   tech n iq u e ,   w h ich   o n ly   p r o d u ce s   th wan ted   m o tio n   a f ter   s lid in g   m o d h as o cc u r r e d .   T he   T SMC s   r o b u s tn ess   o n ly   h ap p e n s   in   th s lid i n g   m o d e   p er io d .   T o   ad v an ce   th r o b u s tn ess   o f   SMC ,   th au th o r s   in   th is   s tu d y   p r o p o s ed   n o v el  GSMC  ap p r o ac h .   I s h o u ld   b e   d is tin g u is h ed   th at  GSMC  h a s   s tr o n g   s tab ilit y   d u r in g   th wh o le  co n tr o p r o g r ess io n ,   b ett er   th an   th T SMC   [ 1 4 ] ,   [ 1 5 ] .   R ec en tly ,   th d esig n   o f   th L FC   s ch em was  s u g g ested   b ased   o n   ad ap tiv GSMC  f o r   m u lti - r eg io n   lin k ed   elec tr icity   s y s t em   with   im m ea s u r ab le  s tates  [ 8 ] .   Ho wev e r ,   m o s o f   th es s tu d ies  n ee d   th e   ac ce s s ib ilit y   o f   th s tates  o f   th p lan t,   wh ich   ca n n o t   b w ar r an ted   i n   p r ac tice.   Pre v iew   s tu d y   [ 1 6 ] ,   o u tp u t   f ee d b ac k   s lid in g   m o d lo a d   f r eq u en c y   c o n tr o l   law  was  p r o p o s ed   f o r   MRLPS  with   ex t er n al  p e r tu r b atio n s .   Nev er th eless ,   th ese  s tu d ies   c o u ld   n o less en   th e   ch atter i n g   im p ac in   th in p u s ig n al.   Hig h - f r eq u e n cy   v ib r atio n   ca u s es  d am ag o r   w ea r   to   m o v in g   m ec h an ical  p ar ts ,   af f ec ts   co n tr o ac c u r ac y ,   a n d   ca u s es  h ig h   h ea in   th elec tr ical  cir cu it  [ 1 7 ] .   T o   d ea with   th is   ch atter i n g   p h en o m en o n ,   th tech n i q u o f   h id i n g   th e   d is co n tin u ity   o f   th co n tr o l sig n al  in   its   h ig h er   d er iv ativ es  was e x ec u ted   em p lo y in g   HOS MC o r   SOSM C .   T h e   HOSMC   tech n iq u was  elev at ed   b y   L ev an [ 1 8 ] ,   th e n   ev en t u ally   it  h as  ev en tu ally   attr ac ted   lo o f   atten tio n .   I n   ad d itio n ,   t h t h eo r y   an d   ap p licatio n   o f   t h SOSMC   ap p r o ac h   h a v b ee n   g r ea tly   d ev elo p ed   in   r ec en y ea r s .   T h id ea   o f   th SOSMC   m eth o d o lo g y   was  o r ig in ally   estab li s h ed   in   th 1 9 8 0 s   b y   [ 1 9 ] .   T h i s   is   al s o   th s ec o n d   m is s io n   o f   o u r   s tu d y .   T o   ac h i ev ch atter in g   r e d u ctio n   in   th s ec o n d   task ,   th e r ar e   m an y   m eth o d s   to   m itig ate   th ch atter in g   p h en o m en o n ,   as   s h o wn   in   T ab le  2 .       T ab le  2 .   Su m m a r y   o f   th m ai n   f in d in g s   an d   ass o ciate d   lim itatio n s   r eg ar d in g   in   th e   s ec o n d   m is s io n   R e f .   S y st e ms   K e y   c o n t r i b u t i o n s   A p p r o a c h e s/ t e c h n i q u e s   Li mi t a t i o n s   [ 2 0 ]   M u l t i - r e g i o n   h y d r o   p o w e r   p l a n t s   A d d r e ss e d   c h a t t e r i n g   i n   LF C   u si n g   a d a p t i v e   H O S M C   A d a p t i v e   i n t e g r a l   c o n t r o l l e r   u si n g   H O S M C   S e n s i t i v i t y   t o   u n m o d e l e d   d y n a mi c s ,   n e e d s   f u l l   s t a t e   [ 2 1 ]   Th r e e - r e g i o n   p o w e r   p l a n t   A d a p t i v e   S M C   d e si g n   f o r   i mp r o v e d   LF C   A d a p t i v e   t h e   H O S M C   t e c h n i q u e   S e n s i t i v i t y   t o   f a st   d y n a m i c s   [ 2 2 ]   La r g e - sca l e   p o w e r   p l a n t     R o b u st   LFC  w i t h   S O S M C     U si n g   t h e   S O S M C   a p p r o a c h   F u l l   st a t e   m e a s u r a b i l i t y   r e q u i r e d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t     I SS N:   2088 - 8 6 9 4       A tten u a ted - c h a tter in g   g lo b a l s ec o n d   o r d er sl id in g   mo d lo a d   fr eq u en cy     ( P h a n - Th a n h   N g u ye n )   2383   As  s h o wn   in   T ab le s   1   an d   2 ,   alth o u g h   s ig n if ican p r o g r ess   h as  b ee n   m a d in   d esig n in g   ad v an ce d   SMC - b ased   L FC   s ch em es,  two   m ajo r   ch allen g es  r em ain .   First,  m an y   ex is tin g   m eth o d s   r eq u ir f u ll  s tate  in f o r m atio n ,   wh ic h   is   n o alw ay s   p r ac tically   p o s s ib le.   Seco n d ,   w h ile  v ar i o u s   ap p r o ac h es  h av e   attem p ted   to   m itig ate  th ch atter in g   p h en o m en o n ,   f u lly   elim in atin g   h i g h - f r e q u en c y   o s cillatio n s   in   th co n tr o s ig n al   r em ain s   d if f icu lt.  Mo tiv ated   b y   th ese  lim itatio n s ,   th is   p ap er   p r o p o s es  n o v el  ch atter i n g - f r ee   g lo b al  s ec o n d - o r d er   s lid in g   m o d lo ad   f r e q u en cy   c o n tr o ller   ( C GSOSML FC )   th at  em p lo y s   an   o b s er v er - b ased   o u t p u t   f ee d b ac k   s tr ateg y   to   ad d r ess   b o th   o f   th ese  is s u es  ef f ec tiv el y .   T h C GSOSML FC   en s u r es   g lo b al  s tab ilit y   o f   th MRLPS   f r o m   th b eg in n i n g   o f   its   m o tio n   wh ile  elim in atin g   h ig h - f r eq u en cy   f l u ctu atio n s   in   th co n tr o l   s ig n al.   I n   ad d itio n ,   in   th s lid in g   m o d e,   an   ap p r o p r iate  r eq u i r em en to   asy m p to tically   allev iate  th MRL PS   is   g iv en   b y   m ea n s   o f   th r e n o wn ed   L MI   m eth o d .   T o   en d ,   b y   m ath em atica l e x am p le,   th v alid ity   o f   th p r o p o s ed   co n ce p ts ,   tech n iq u es,  an d   p r o c ed u r es  is   s h o wn .       2.   ST A T E   SP ACE F O R M   O F   T H E   M UL T I - R E G I O L I N K E P O WE S YS T E M S   I n   th is   p ar t,  th e   MRLPS  co n tain s   s u b s y s tem   co n tr o r e g io n s   th at   ar lin k ed   th r o u g h   tie - lin es  [ 7 ] .   Fig u r 1   illu s tr ates   th m ath e m atica m o d el  o f   i   th e   co n tr o zo n with   W T G,   wh e r e   i = 1 , 2 . . . , n   s y m b o lizes  th n u m b er   o f   zo n es,  a n d   i j .   T h m u lti - zo n elec tr icity   p lan t d y n am ics  ar e   d escr ib e d   in   T ab l 3 .           Fig u r 1 .   B lo ck   d iag r am   o f   th MRLPS   co m p r is es win d   an d   th er m al  u n its       T ab le  3 .   T h in ter co n n ec ted   m u lti - ar ea   p o wer   s y s tem   d y n am ics  [ 7 ]   Ex p r e ssi o n / f o r mu l a   P h y s i c a l   mea n i n g / e x p l a n a t i o n   z ̇ 1i ( t ) = 1 T Pi z ̇ 1i ( t ) + K Pi T Pi z 2i ( t ) + K Pi T Pi Δ P di ( t ) K Pi 2 π T Pi                                 × K s ij [ Δ z 5i ( t ) Δ z 5j ( t ) + K Pi T Pi z 6i ( t ) ] N i = 1 , j i   F r e q u e n c y   d y n a m i c s :   z 1i ( t ) = Δ f i ( t )   i s fr e q u e n c y   d e v i a t i o n   i n   a r e a   i   z ̇ 2i ( t ) = 1 T Ti z 2i ( t ) + 1 T Ti z 3i ( t )   G e n e r a t o r   o u t p u t   d y n a m i c s :   z 2i ( t ) = Δ P gi ( t )   i d e v i a t i o n   o f   g e n e r a t o r   o u t p u t   p o w e r   z ̇ 3i ( t ) = 1 T Gi R i z 1i ( t ) 1 T Gi z 3i ( t ) 1 T Gi z 4i ( t ) 1 T Gi u i   G o v e r n o r   v a l v e   p o s i t i o n   d y n a m i c s :   z 3i ( t ) = Δ X gi ( t )   i s   g o v e r n o r s   v a l v e   si t u a t i o n   z ̇ 4i ( t ) = K Ei K Bi α T z 4i ( t ) + K E i α T 2 π [ Δ z 5i ( t ) Δ z 5j ( t ) ] N i = 1 , j i   I n t e g r a l   c o n t r o l l e r   o u t p u t   d y n a mi c s:   z 4i ( t ) = Δ E i   i o u t p u t   o f   i n t e g r a l   c o n t r o l l e r   z ̇ 5i ( t ) = 2 π z 5i ( t )   R o t o r   a n g l e   d y n a mi c s:   z 5i ( t ) =   Δ δ i ( t )   i s t h e   r o t o r   a n g l e s a b e r r a t i o n   z ̇ 6i ( t ) = α ω T ω i z 4i ( t ) 1 T ω i z 6i ( t )   W i n d   t u r b i n e   p o w e r   d y n a mi c s:   z 6i ( t ) = Δ P ω i ( t )   i t h e   w i n d   t u r b i n e p o w e r       T h ter m s   T Pi ,   T Ti ,   an d   T ω i   ar th tim co ef f icien ts   o f   th p o wer   p lan t,   th tu r b in e,   th win d   tu r b in e,   r esp ec tiv ely T Gi   in d icate s   th g o v er n o r s   tim co n s tan t,  R i   in d icate s   d r o o p   g ain s   tim co n s tan t,   K Pi   in d icate s   p o wer   s y s tem   g ain s   tim e   co n s tan t,  K Bi in d icate s   b ias  f ac t o r s   ti m co n s tan t,   K Ei in d icate s   tim co n s tan o f   th e   in teg r al  co n t r o ller   g ain .   K s i j   is   th tie - lin f ac to r   b etwe en   t h r eg io n   i   an d   j   ( i j )   an d   α T   s h o th e   co n tr ib u tio n   co e f f icien ts   o f   win d   tu r b i n es  an d   t h er m al  u n its .   T ab le  4   s h o ws  th e   in ter co n n ec ted   elec tr icity   p lan t d y n am ics co n s id er in g   p a r am eter s   o f   u n ce r tain ties .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J  Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  16 ,   No .   4 Dec em b er   20 25 :   2381 - 2 3 8 8   2384   T ab le  4 .   State - s p ac m o d el  o f   th MRLPS [ 7 ]   Ex p r e ssi o n / f o r mu l a   Ex p l a n a t i o n / p u r p o se   z ̇ i ( t ) = A i z i ( t ) + G ij N j = 1 , j i z j ( t ) + B i u i ( t ) + ξ i ( z i , t ) , y i = C i z i ( t )   S t a t e - sp a c e   m o d e l   o f   t h e   i t h   p a r t   i n   M R LPS   w i t h   d i s t u r b a n c e   ξ i ( z i , t ) .   z i ( t ) = [ Δ f i ( t )   Δ P gi ( t )   Δ X gi ( t )   Δ E i   Δ δ i ( t )   Δ P ω i ( t ) ] T   D e f i n i t i o n   o f   t h e   st a t e   v e c t o r   z i ( t ) .   ξ i ( z i , t ) = Δ A i ( z i , t ) z i ( t ) + B i υ i ( z i , t ) + H i Δ P L i ( t )   w i t h   ξ i ( z i , t ) D ξ i   S t r u c t u r e   o f   d i st u r b a n c e   ξ i ( z i , t ) .       H e r e ,   z i ( t )   a n d   z j ( t )   a r e   s ta t e   v e c t o r s   an d   n e i g h b o r i n g   s t a t e   v e c t o r s ,   r e s p e c ti v e l y ;   u i ( t )   i s   t h e   c o n t r o s i g n a l y i ( t )   i s   t h c o n t r o l l e d   o u t p u t ;   a n d   D ξ i   i s   p o s i ti v e   c o n s t a n t .   B i υ i ( z i , t )   a n d   Δ A i ( z i , t )   a r e   t h e   p e r t u r b a t i o n   i n p u t   s i g n a l   a n d   t h e   u n c e r t a i n ty   p a r a m e t e r s ,   r es p e c ti v e l y .   T h p l a n t   m a t r i c es   A i , B i , G ij   c a n   b e   p r e s e n t ed   a s :       A i = [                             1 T Pi K Pi T Pi 0 0 K Pi 2 π T Pi K s ij N i = 1 j 1 K Pi T ω i 0 1 T Ti 1 T Ti 0 0 0 1 T Gi R i 0 1 T Gi 1 T Gi 0 0 K Ei K Bi 0 0 0 K Ei 2 π K s ij N i = 1 j 1 0 2 π 0 0 0 0 0 0 0 0 α ω T ω i 0 1 T ω i ]                             , B i = [                0    0    1 T G i    0       0       0 ]             , G ij = [               0 0 0 0 K Ei 2 π T Ti K s ij 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K Ei 2 π T Ti K s ij 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]               .       3.   M AIN R E S UL T S   3 . 1 .     Sli din g   m o de  wit ho ut  re a ching   ph a s a uto m a t ic  lo a d f re qu ency   co ntr o l desig n   T o   estab lis h   an   in n o v ativ e   c h atter - f r ee   SOSMC   law  f o r   t h MRLPS,  n o v el   s tate  esti m ato r   is   co n s tr u cted   t o   f i n d   t h u n m ea s u r ab le  s tates  o f   t h MRLPS,  as  d escr ib ed   in   T ab le   5 .   In   T ab le  5 ,   z ̂ i ( t )   is   th e   esti m ate  o f   z i ( t ) ,   y ̂ i ( t )   is   th esti m ate  o f   y i ( t ) ,   an d   Ξ i   is   th esti m ato r   g ain   m atr ix .   No w,   t o   g e n er ate  n o v el   wea k en ed - ch atter i n g   s in g le - p h ase  SOSMC   law  f o r   th e   MRLPS,  s in g le - p h ase  s lid in g   m an if o ld   f u n ctio n   is   d ef in ed   a n d   s p ec if ied   i n   T ab le   6 .   I n   T ab le  6 ,   κ i   is   an y   d iag o n al  m atr ix ,   an d   α i1    an d   α i2   ar th p o s itiv co n s tan ts .   F i ,   L i   ar th d esig n ed   m atr ices.  F i   is   s elec ted   to   en s u r th at  is   ( F i B i )   in v er tib le.   T h d esig n   m atr ix   L i   is   p r ef er r ed   to   f u lf ill   th in eq u ality   o f   th e   p o wer   p lan t:  Re [ λ i i i m ax   T o   g et   th s tab ilit y   o f   th m u lti - f ield   lin k ed   elec tr ici ty   p lan t   d ep icted   in   T ab le   4   u p o n   th e   s p ec if ied   s lid in g   m a n if o ld   in   T ab le  6   f r o m   th e   ze r o - attain m en m o m e n t ,   a   n ew  C GSO SML F C   is   s u g g ested   as   ( 1 ) .   W h er α i1 , α i2 , φ ̄ i   ar s o m p o s itiv s ca lar s .     u ̇ i ( t ) = ( α i1 F i B i ) 1 { α i1 F i B i L i z ̂ ̇ i ( t ) + α j1 F j G ji N j = 1 , j i z ̂ ̇ i ( t ) + α i2 F i Ξ i [ y ̇ i ( t ) y ̂ ̇ i ( t ) ]   + κ i σ ̇ i [ z ̂ i ( t ) ] + φ ̄ i ψ i ε i 2 F i z ̂ i ( 0 ) e ε i t } s ign ( ψ i ( t ) )   ( 1 )       T ab le  5 .   T h s u g g ested   s tate  e s tim ato r   f o r   th MRLPS   Ex p r e ssi o n / f o r mu l a   Ex p l a n a t i o n / p u r p o se   z ̂ ̇ i ( t ) = A i z ̂ i ( t ) + G ij N j = 1 , j i z ̂ j ( t ) + B i u i ( t ) + Ξ i [ y i ( t ) y ̂ i ( t ) ] , y ̂ i ( t ) = C i z ̂ i ( t )   O b serv e r   e q u a t i o n   e st i ma t i n g   t h e   u n m e a s u r e d   s t a t e s.   ϖ i ( t ) = z i ( t ) z ̂ i ( t )   Est i m a t i o n   e r r o r   ϖ i ( t ) .   ϖ ̇ i ( t ) = [ A i Ξ i C i ] ϖ i ( t ) + G ij N j = 1 , j i ϖ j ( t ) + ξ i ( z ̂ i , t )   D y n a mi c o f   t h e   e s t i m a t i o n   e r r o r .       -   T h eo r em   1 .   C o n s id er   th MRLPS   s u b ject  to   ex o g en o u s   d is tu r b an ce s   as  d escr ib ed   in   T ab le  4 .   Up o n   th im p lem en tatio n   o f   t h co n tr o ac s p ec if ied   in   ( 1 ) ,   th s tate  tr ajec to r ies  o f   th MRLPS  ar e   d r iv en   to war d   th s witch in g   m an if o ld   ψ i [ z ̂ i ( t ) ] = 0   im m ed iately   f r o m   t h in itial  m o m en o f   ac tiv atio n .   C o n s eq u en t ly ,   th asy m p to tic  s tab ilit y   o f   th e   s y s tem ,   as r ep r esen ted   b y   T ab le  4 ,   is   en s u r ed .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t     I SS N:   2088 - 8 6 9 4       A tten u a ted - c h a tter in g   g lo b a l s ec o n d   o r d er sl id in g   mo d lo a d   fr eq u en cy     ( P h a n - Th a n h   N g u ye n )   2385   -   Pro o f   o f   T h eo r e m   1 .   C o g itat th ap p lican L y a p u n o v   f u n ctio n al  as  V [ z ̂ i ( t ) ] = ψ i [ z ̂ i ( t ) ] N i = 1 ,   wh er d ir ec t d if f er e n tiatio n   o f   V [ z ̂ i ( t ) ]   r esu lts .     V ̇ ( t ) { α i1 F i B i L i z ̂ ̇ i ( t ) + α j2 F j G ji N j = 1 , j i z ̂ ̇ i ( t ) N i = 1 + ψ i T ψ i α i1 F i B i u ̇ i ( t ) + α i1 F i Ξ i [ y ̇ i ( t ) y ̂ ̇ i ( t ) ] ε i 2 F i z ̂ i ( 0 ) e ε i t + κ σ ̇ i [ z ̂ i ( t ) ] } .   ( 2 )     No w,   b y   s u b s titu tin g   th o u tp u f ee d b ac k   co n tr o s ig n al  ( 1 )   in to   ( 2 ) ,   we  ca n   ap p r e ciate   th at  V ̇ [ z ̂ i ( t ) ] φ ̄ i ψ i [ z ̂ i ( t ) ] N i = 1 < 0 ,   φ ̄ i > 0 .   C o n s eq u en tly ,   th MRLPS s   s tate  v ar iab les  co m in   co n tact   with   th s witch in g   m an if o l d   in   T ab le  6   f r o m   th e   ze r o - attain m en t m o m en f o r   all  t 0 .       T ab le  6 .   T h n ew  s in g le - p h ase  s lid in g   m an if o l d   f o r   s u p p o r tin g   o u tp u t f ee d b ac k   co n tr o ller   d esig n   Ex p r e ssi o n / f o r mu l a   Ex p l a n a t i o n / p u r p o se   ψ i [ z ̂ i ( t ) ] = σ ̇ i [ z ̂ i ( t ) ] + κ i σ i [ z ̂ i ( t ) ]   S i n g l e - p h a s e   sl i d i n g   f u n c t i o n   σ i [ z ̂ i ( t ) ] = α i1 F i z ̂ i ( t ) α i2 F i ( A i B i L i ) z ̂ i t 0 ( τ ) d τ F i z ̂ i ( 0 ) e ε i t   D e f i n i t i o n   o f   σ i [ z ̂ i ( t ) ]   σ ̇ i = α i1 F i B i L i z ̂ i + α i1 F i G ij N j = 1 , j i z ̂ j + α i1 F i B i u i + α i1 F i Ξ i C i ϖ i + ε i F i z ̂ i ( 0 ) e ε i t   F i r st   d e r i v a t i v e   o f   σ i [ z ̂ i ( t ) ]   σ ̈ i [ z ̂ i ( t ) ] = α i1 F i B i L i z ̂ ̇ i + α i1 F i G ij N j = 1 , j i z ̂ ̇ j + α i1 F i B i u ̇ i + α i1 F i Ξ i [ y ̇ i ( t ) y ̂ ̇ i ( t ) ]                                     ε i 2 F i z ̂ i ( 0 ) e ε i t   S e c o n d   d e r i v a t i v e   o f   σ i [ z ̂ i ( t ) ] ,   r e q u i r e d   f o r   S O S M C   t e c h n i q u e   ψ ̇ i [ z ̂ i ( t ) ] = α i1 F i B i L i z ̂ ̇ i ( t ) + α i1 F i G ij N j = 1 , j i z ̂ ̇ j + α i1 F i B i u ̇ i + α i1 F i Ξ i C i ϖ ̇ i                                       ε i 2 F i z ̂ i ( 0 ) e ε i t + κ σ ̇ i [ z ̂ i ( t ) ]   Ti me   d e r i v a t i v e   o f   t h e   sl i d i n g   man i f o l d   ψ i [ z ̂ i ( t ) ]       3 . 2 .     St a bil it y   a na ly s is   o f   who le  s y s t em   in s lid ing   m o de  dy na m ics   I n   th is   s ec tio n ,   a   ap p r o p r iate  r eq u ir em en ex p r ess ed   in   th f o r m   o f   L M I   is   f o r m u lated   t o   en s u r th asy m p to tic  s tab ilit y   o f   th M R L PS ,   u n d er   s lid in g   m o d c o n tr o l.  T o   th is   en d ,   we  p r o ce e d   b y   an al y zin g   th f o llo win g   L MI   f o r m u latio n .     [                 Λ ̃ i   + [ μ j ( G ji Γ j G ji ) T ( G ji Γ j G ji ) + μ j 1 R j R j ]     R i Φ                                       R j     R j Ψ j    0 N j = 1 j i               Φ i T R i           Θ ̃ i + [ μ ̆ j G ji T Γ j T Γ j G ji + μ ̆ j 1 R j R j + μ ̃ j G ji T G ji + μ ̃ j 1 S j S j ]     0             0         S j N j = 1 j i                   R j                                                                                                                                                                                             η ̆ j 1     0         0             Ψ j T R j                                                                                                                                                                                                   η ̃ j 1    0                   S j                                                                                                                                                     0                                                     0               0     η ̃ j 1 ]                 < 0 ,   ( 3 )     W h er Λ ̃ i = R i ( A i Γ i B i L i ) + ( A i Γ i B i L i ) T R i ,   Θ ̃ i =   S i ( A i Ξ i C i ) + ( A i Ξ i C i ) T S i ,   R i , S i   ar an y   p o s itiv m atr ices,  an d   μ i > 0 , μ ̆ i > 0 , μ ̃ i > 0 , η ̆ i > 0 , η ̃ i > 0 .   T h en ,   we  ca n   b u ild   t h f o llo win g   th e o r em :   -   T h eo r em   2 .   Su p p o s in g   th at  th s u f f icien t c o n d itio n   e x p r ess e d   in   th L MI   f o r m u latio n   ( 3 )   a d m its   f ea s ib le   s o lu tio n   R i > 0 , S i > 0 ,   an d   th s witch in g   m an if o ld   is   d em ar ca ted   as  in   T ab le  6 .   T h en ,   th MRLPS   s u b jecte d   to   ex o g en o u s   p er tu r b atio n s ,   as  d escr ib ed   b y   T ab le  4 ,   is   asy m p to tically   s tab le  wh en   th s y s tem   tr ajec to r ies ev o lv o n   th s lid i n g   m an if o ld   ψ i [ z ̂ i ( t ) ] = 0 .   -   Pro o f   o f   T h e o r em   2 .   B ased   o n   th d ef in ed   s witch in g   m an i f o ld   ψ i [ z ̂ i ( t ) ] = ψ ̇ i [ z ̂ i ( t ) ] = 0 ,   th eq u iv alen co n tr o l la ca n   b d e r iv ed   a n d   ex p r ess ed   as  ( 4 ) .     u i eq ( t ) = ( α i1 F i B i ) 1 { α i1 F i B i L i z ̂ i + α i2 F i G ij N j = 1 , j i z ̂ j + α i1 F i Ξ i [ y i ( t ) y ̂ i ( t ) ] + ε i F i z ̂ i ( 0 ) e ε i t }   ( 4)     No w,   we  s u b s titu te  th e   v alu e   o f   u i eq ( t )   in to   t h f ir s e q u atio n   o f   t h MRIPS s   s tate  s p ac m o d e in   T ab le  4   an d   s im p lify   as  ( 5 ) .     z ̇ i ( t ) = [ A i Γ i B i L i ] z i + Φ i ϖ i + [ G ij N j = 1 , j i Γ i G ij N j = 1 , j i ] z j + Γ i G ij N j = 1 , j i ϖ j + ξ i + Ψ i e ε i t   ( 5 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J  Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  16 ,   No .   4 Dec em b er   20 25 :   2381 - 2 3 8 8   2386   W h er Φ i = α i1 B i ( α i1 F i B i ) 1 F i B i L i α i1 B i ( α i1 F i B i ) 1 F i Ξ i C i , Γ i = α i1 B i ( α i1 F i B i ) 1 F i   an d   Ψ i = ε i B i    × ( α i1 F i B i ) 1 F i z ̂ i ( 0 ) .   No w,   to   co n f ir m   th s tead in ess   o f   th MRL PS   d y n am ic,   we  d elib er ate  th L y ap u n o v   p o s itiv d ef in itio n   f u n ctio n   V [ z i ( t ) , ϖ j ( t ) ] = [ z j ( t ) ϖ j ( t ) ] T [ R i      0 0         S i ] [ z j ( t ) ϖ j ( t ) ] N i = 1 ,   wh er R i > 0   an d   S i > 0   s ati s f y   th L MI   ( 3 )   f o r   i = 1 , 2 , . . . , L .   T h en ,   tak in g   th e   d er iv ativ e   o f   tim e,   co m b in in g   ( 5 )   an d   th e   d y n am ics  o f   th e   esti m atio n   er r o r   in   T ab le  5 ,   an d   b y   m ea n s   o f   L e m m 3   o f   wo r k   [ 2 3 ]   an d   L em m a   o f   s tu d y   [ 2 4 ] ,   we  h av e     V ̇ [ z i ( t ) , ϖ j ( t ) ]   [ z i ϖ i ] T [       Λ ̃ i   + [ μ j ( G ji Γ j G ji ) T ( G ji Γ j G ji ) + μ j 1 R j R j ] + η ̆ j R j R j + η ̃ j R j Ψ j Ψ j T R j     N j = 1 j i R i Φ                   Φ i T R i                     Θ ̃ i + [ μ ̆ j G ji T Γ j T Γ j G ji + μ ̆ j 1 R j R j + μ ̃ j G ji T G j i + μ ̃ j 1 S j S j ] N j = 1 j i + η j S j S j ]       N i = 1 × [ z i ( t )    ϖ i ( t ) ] T + [ γ ̃ i θ i 2 + λ i ( t ) ] N i = 1   ( 6 )     W h er   Λ ̃ i = R i ( A i Γ i B i L i ) + ( A i Γ i B i L i ) T R i , Θ ̃ i =   S i ( A i Ξ i C i ) + ( A i Ξ i C i ) T S i , γ ̃ i = η j 1 + η ̆ j 1 ,   θ i ( t ) = ξ j ( z i , t ) ,   an d   λ i ( t ) = η ̃ j 1 ( e ε i t ) T e ε i t .   T h en ,   em p lo y in g   well - k n o wn   L M I   ap p r o ac h   [ 2 5 ]   t o   in eq u ality   ( 3 ) ,   we  attain     Ξ ̆ i = [ Λ ̃ i   + [ μ j ( G ji Γ j G ji ) T ( G ji Γ j G ji ) + μ j 1 R j R j ] + η ̆ j R j R j + η ̃ j R j Ψ j Ψ j T R j    N j = 1 , j i R i Φ                   Φ i T R i                   Θ ̃ i + [ μ ̆ j G ji T Γ j T Γ j G ji + μ ̆ j 1 R j R j + μ ̃ j G ji T G ji + μ ̃ j 1 S j S j ] N j = 1 , j i + η j S j S j ] > 0   ( 7 )     B ased   o n   ( 6 )   an d   ( 7 ) ,   it   ca n   b s ee n   th at  V   [ λ m in   N i = 1 ̇ ( Ξ i ) | | i ( t ) | | 2   +   γ i θ i 2   +   λ i ( t ) ] ,   wh en   th e   te r m   λ i ( t )   will  ten d   to   ze r o   in   th in f in it y   tim e.   W ca n   b r ep r esen te d   as  V ̇ [ λ ( Ξ ̆ i ) z ̂ i ( t ) 2 ̃ i i 2 m i n [ ] ] N i = 1   wh er th co n s tan v alu e   γ ̃ i θ i ( t ) =   γ ̃ i ξ j ( z i , t )   an d   t h eig e n v alu λ m in   ( Ξ i ) >   0 .   Hen ce ,   V ̇ < 0   is   d er iv e d   with   | | i ( t ) | | > γ i θ i 2 λ m i n ( Ξ i )   wh ich   s h o ws th at  th MRLPS   is   asy m p to tically   s tab le.       4.   SI M UL A T I O R E S UL T S   I n   th is   s ec tio n ,   th p ar am ete r s   o f   th r ee - r eg io n   lin k e d   e lectr icity   p lan t   with   W T Gs,  wh ich   ar item ized   in   [ 7 ] ,   is   s im u lated   b y   MA T L AB   s o f twar to   v alid ate  th f ea s ib le  s o lu tio n   o f   th s u g g ested   L FC   ap p r o ac h .   T h e x ter n al  d is tu r b an ce s   o f   th th r ee   r eg io n s   ar r esp ec tiv ely   s u p p o s ed   as  ξ 1 = 0 . 04 ,   ξ 2 = 0 . 022 ,   ξ 1 = 0 . 06 .   T h o b tain e d   r esu lts   o f   th ese   elec tr icity   p lan ts   ar ex em p lifi ed   in   Fig u r 2 .   -   R em ar k   T h p er f o r m an ce   o f   th p r o p o s ed   C GS OSML F C   ( 1 )   in   th MRLPS   in teg r ated   with   W T G s   is   s h o wn   in   Fig u r 2 .   I n   Fig u r 2 ( a) ,   th f r eq u en c y   d ev iatio n s   Δ f ₁,   Δ f ₂,   an d   Δ f ₃  r esp o n d   r a p id ly   im m ed iately   af ter   th in itial  d is tu r b an ce .   Alth o u g h   s lig h o s cillatio n s   o cc u r   with i n   th f ir s 0   -   2   s ec o n d s ,   all  f r eq u en c y   cu r v es  o f   th r ee   ar ea s   co n v er g e   to   a   s tab le  v alu in   3 , 5   s ec o n d s ,   with   u n d er   s h o o ar e   −1 , 2   ×  1 0 −3   ( p u   MW)  an d   −1 . 7   ×   10 −3   ( p u   MW).   Fig u r 2 ( b )   s h o ws  th e   co n tr o s ig n als  f o r   t h th r ee   ar ea s .   I is   r em ar k ab l th at  th p r o p o s ed   m eth o d   ex h ib its   n o   ch atter in g   an d   d o es  n o r eq u i r ac ce s s   to   th s tate  v ar iab les  o f   th MRLPS,  wh ich   is   a   clea r   ad v a n tag o v er   r ec e n s tu d ies  [ 6 ] - [ 8 ] .   T h is   v er if ies  th at  th s u g g ested   C GSOSML F C   ( 1 )   s u cc ess f u lly   d is m is s e s   u n d esira b le  h ig h - f r eq u en cy   s witch in g .   Fig u r e   2 ( c)   p lo ts   th e   s witch in g   s u r f ac e s   o f   th e   th r ee   ar ea s   r ap id ly   co n v er g in g   to   ze r o   wit h o u o s cillatio n s   f r o m   th in iti al  in s tan o f   s y s tem   m o tio n .   I t   ca n   b s tated   th at  th en h an ce d   r o b u s tn ess   an d   th an ticip ated   d y n am ic  r esp o n s o f   th MRLPS   ar co n q u er ed   b y   s ac k in g   th e   r ea ch in g   p h ase  in   th T SMC   a p p r o ac h ,   th at  h as c o n d en s ed   t h r estrictio n s   r eq u ir ed   in   o th e r   s tu d ies [ 1 3 ] ,   [ 1 6 ] ,   [ 2 1 ] ,   [ 2 2 ] .   Fig u r 2 ( d )   d em o n s tr ates  th at  th ar ea   co n tr o er r o r s   d ec lin q u ick ly   an d   a p p r o ac h   ze r o   with in   ap p r o x im ately   3   s ec o n d s ,   r e f l ec tin g   p r ec is f r eq u e n cy   an d   p o wer   r eg u latio n .   Ov er all,   th s im u latio n   r esu lts   p r o v t h at  th C GSOSML F C   ( 1 )   n o o n ly   p r o v id es  h ig h - p er f o r m an ce   f r e q u en c y   r eg u latio n   with   f ast   r esp o n s e,   g lo b al  s y s tem   s tab ilit y ,   an d   s m all  s tead y - s tate  er r o r ,   b u t a ls o   c o m p letely   elim in at es c h atter in g .   Fro m   ab o v o b tain ed   ac h iev e m en ts ,   th an ticip ated   m eth o d   d o es  n o n ec ess ar ily   th ac ce s s ib ilit y   o f   th s tate  v ar iab les.  W ca n   c o n clu d e   th at  th e   p r o p o s ed   m e th o d   n o o n ly   ef f icien tly   s o lv es  th s tab ilizatio n   p r o b lem   b u t   also   r e d u ce s   th e   ch atter in g   f o r   th MRLPS  in t eg r ated   with   W T Gs.  Su b s eq u en tly ,   th is   tech n iq u is   h ig h ly   ap p r ec iated   an d   m o r r ea lis tic,   s in ce   it c an   b ea s ily   in s tig ated   in   p r ac tical  s y s tem s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t     I SS N:   2088 - 8 6 9 4       A tten u a ted - c h a tter in g   g lo b a l s ec o n d   o r d er sl id in g   mo d lo a d   fr eq u en cy     ( P h a n - Th a n h   N g u ye n )   2387           ( a)   ( b )   ( c)   ( d )     Fig u r 2 .   T im e   h is to r y   o f   ( a)   th f r eq u en cy   ab er r atio n s ,   ( b )   th lo ad   f r eq u e n cy   c o n tr o ller s ,   ( c)   th e   s in g le - p h ase  s lid in g   s u r f ac es,  an d   ( d )   th a r ea   co n t r o er r o r   o f   th r ee - ar ea   p o wer   p la n ts   with   W T Gs       5.   CO NCLU SI O N   I n   th is   p ap er ,   n ew  ch atter in g - f r ee   g l o b al  s ec o n d   o r d er   s lid in g   m o d lo ad   f r eq u en cy   co n tr o ller   ( C GSOS ML FC )   h as  b ee n   d ev elo p ed   f o r   m u lti - r e g io n   lin k e d   p o wer   s y s tem s   ( MRLPS)   s u b jecte d   to   ex te r n al   p er tu r b atio n s .   T o   r eso lv th u n m ea s u r ab le  s tate  v ar iab les  p r o b lem ,   n o v el  o b s er v er   h a s   b ee n   p r o jecte d   f o r   g u ess in g   th u n m ea s u r ab le  s t ate  v ar iab les.  n ewly   f o r m u lated   o n e - p h ase  s witch in g   m a n if o ld   f u n ctio n   h as  b ee n   s y s tem atica lly   f o r m u lated   f o r   SMC   s u ch   th at  all  s tates  tr ajec to r ies  o f   th s y s tem   b e g in   at  th s u r f ac at   an   in itial  tim m o m en t   wh i ch   m ak es  it  h ig h ly   r o b u s f o r   ap p licatio n s .   T h n o v el   C GSOS ML FC   i s   s y s tem atica lly   d esig n ed   to   s u p p r ess   h ig h - f r eq u en cy   c h atter in g   p h e n o m e n an d   t o   r o b u s tly   s tab ilize  th MRLPS  u n d er   th e   in f lu e n ce   o f   ex ter n al  p er t u r b atio n s .   Fu r th er m o r e,   th s tead in ess   o f   th e   MRLPS   is   p r o m is ed   v ia  th L MI   m eth o d   wh ich   is   ex tr ac ted   b ased   o n   L y a p u n o v   s tead in ess   th eo r y .   Ultim atel y ,   th ex p er im e n tal  r ep licatio n s   ar a p p lied   to   a   th r ee - ar ea   in ter co n n ec ted   p o w er   n etwo r k   to   v alid ate  t h en h an ce d   u s ef u ln ess   o f   th p lan n e d   co n tr o ller   i n   s u p p r ess in g   ch atter in g   an d   o u tp er f o r m i n g   e x is tin g   s lid in g   m o d c o n tr o l   m eth o d o l o g ies.  I n   f u tu r e   wo r k ,   we  will  e x am in e   th e   r o b u s tn ess   o f   th p r o p o s ed   a p p r o ac h   with   c o m p lex   p o wer   s y s tem s ,   in clu d in g   v ar i o u s   r en ewa b le  e n er g y   s o u r ce s   an d   en er g y   s to r a g s y s tem s .       F UNDING   I NF O R M A T I O N   T h is   r esear ch   was  s u p p o r ted   b y   H o   C h Min h   C ity   Un iv er s ity   o f   T ec h n o lo g y   an d   E d u ca tio n ,     Ho   C h i M in h   C ity ,   Vietn am   u n d er   g r an t n u m b er   T 2 0 2 5 - 1 9 9 .       AUTHO CO NT RI B UT I O NS ST A T E M E N T   T h is   jo u r n al  u s es  th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT)   to   r ec o g n ize  in d iv id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au th o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co llab o r atio n .     Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   Ph an - T h an h   Ng u y en                               C o n g - T r an g   Ng u y en                                 C     C o n c e p t u a l i z a t i o n   M     M e t h o d o l o g y   So     So f t w a r e   Va     Va l i d a t i o n   Fo   Fo r mal   a n a l y s i s   I     I n v e s t i g a t i o n   R     R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi     Vi su a l i z a t i o n   Su     Su p e r v i s i o n   P     P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu     Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT   E ac h   au th o r   in   th is   wo r k   ag r ee s   to   d ec lar th at  we  h a v n o   c o n f lict o f   i n ter est.       DATA AV AI L AB I L I TY   D a t a   a v a il a b i li t y   is   n o t   a p p l i ca b l e   t o   t h is   p a p e r   a s   n o   n e w   d at w e r e   c r e a t e d   o r   a n al y z e d   i n   t h is   s t u d y .     RE F E R E NC E S   [ 1 ]   C. - T.   N g u y e n ,   C .   Tr o n g   H i e n ,   a n d   V . - D .   P h a n ,   O b s e r v e r - b a s e d   s i n g l e   p h a se  r o b u st n e ss  l o a d   f r e q u e n c y   sl i d i n g   mo d e   c o n t r o l l e r   f o r   mu l t i - a r e a   i n t e r c o n n e c t e d   p o w e r   s y st e ms,   B u l l e t i n   o f   E l e c t ri c a l   E n g i n e e ri n g   a n d   I n f o rm a t i c s ,   v o l .   1 3 ,   n o .   5 ,   p p .   3 1 4 7 3 1 5 4 ,   O c t .   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 5 9 1 / e e i . v 1 3 i 5 . 7 8 9 3 .   [ 2 ]   H .   B e v r a n i ,   R o b u s t   p o w e r   s y s t e m   f r e q u e n c y   c o n t r o l .   C h a m :   S p r i n g e r   I n t e r n a t i o n a l   P u b l i s h i n g ,   2 0 1 4 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 3 1 9 - 0 7 2 7 8 - 4.   [ 3 ]   P .   K u n d u r ,   Po w e r   sys t e m   s t a b i l i t y   a n d   c o n t r o l .   M c G r a w - H i l l ,   1 9 9 4 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J  Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  16 ,   No .   4 Dec em b er   20 25 :   2381 - 2 3 8 8   2388   [ 4 ]   J.  Y .   H u n g ,   W .   G a o ,   a n d   J.  C .   H u n g ,   V a r i a b l e   st r u c t u r e   c o n t r o l :   a   s u r v e y ,   I EEE  T r a n s a c t i o n s o n   I n d u s t ri a l   El e c t r o n i c s ,   v o l .   4 0 ,   n o .   1 ,   p p .   2 2 2 ,   1 9 9 3 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / 4 1 . 1 8 4 8 1 7 .   [ 5 ]   Y. - W .   Ts a i   a n d   C . - T.   N g u y e n ,   V a r i a b l e   s t r u c t u r e   c o n t r o l   f o r   mi sma t c h e d   u n c e r t a i n   s y st e ms  u si n g   o u t p u t   v a r i a b l e w i t h   f i n i t e - t i m e   c o n v e r g e n c e ,   J o u r n a l   o f   t h e   C h i n e s e   I n s t i t u t e   o f   E n g i n e e rs ,   v o l .   4 3 ,   n o .   5 ,   Ju l .   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 0 / 0 2 5 3 3 8 3 9 . 2 0 2 0 . 1 7 5 1 7 2 0 .   [ 6 ]   A .   D e v ,   B .   M o n d a l ,   V .   K .   V e r m a ,   a n d   V .   K u mar,   Te a c h i n g   l e a r n i n g   o p t i mi z a t i o n - b a s e d   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l   f o r   f r e q u e n c y   r e g u l a t i o n   i n   mi c r o g r i d ,   El e c t ri c a l   E n g i n e e r i n g ,   v o l .   1 0 6 ,   n o .   6 ,   p p .   7 0 0 9 7 0 2 1 ,   D e c .   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 0 0 2 0 2 - 0 2 4 - 0 2 4 2 2 - 8.   [ 7 ]   D .   K .   B i s w a s ,   S .   D e b b a r m a ,   a n d   P .   P .   S i n g h ,   L F C   o f   m u l t i - a r e a   p o w e r   s y s t e m   u s i n g   a   r o b u s t   f u l l - o r d e r   t e r m i n a l   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l l e r   c o n s i d e r i n g   c o m m u n i c a t i o n   d e l a y ,   E l e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g ,   v o l .   1 0 7 ,   n o .   4 ,   A p r .   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 0 0 2 0 2 - 0 2 4 - 0 2 7 5 3 - 6.   [ 8 ]   Y .   Li a n g ,   Q .   Ji a mi n g ,   a n d   L .   X i n x i n ,   Lo a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   o f   n e w   e n e r g y   p o w e r   s y s t e b a s e d   o n   a d a p t i v e   g l o b a l   sl i d i n g   m o d e   c o n t r o l ,   F ro n t i e rs   i n   E n e rg y   R e se a rc h ,   v o l .   1 2 ,   M a y   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 3 3 8 9 / f e n r g . 2 0 2 4 . 1 3 8 3 5 1 1 .   [ 9 ]   A .   S h a r m a   a n d   N .   S i n g h ,   L o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   o f   c o n n e c t e d   m u l t i - a r e a   m u l t i - s o u r c e   p o w e r   s y s t e m s   u s i n g   e n e r g y   s t o r a g e   a n d   l y r e b i r d   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m   t u n e d   P I D   c o n t r o l l e r ,   J o u r n a l   o f   E n e r g y   S t o r a g e ,   v o l .   1 0 0 ,   O c t .   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . e s t . 2 0 2 4 . 1 1 3 6 0 9 .   [ 1 0 ]   A .   S h a r m a   a n d   N .   S i n g h ,   E n h a n c i n g   m u l t i - a r e a   m i c r o g r i d   s t a b i l i t y   w i t h   v i r t u a l   d a m p i n g   a n d   e n e r g y   st o r a g e   i n e r t i a   t e c h n i q u e s   u si n g   h y b r i d   l y r e b i r d   -   P a t t e r n   s e a r c h   o p t i m i z e d   P I - ( 1 + D D )   c o n t r o l l e r ,   J o u rn a l   o f   En e rg y   S t o r a g e ,   v o l .   1 2 4 ,   p .   1 1 6 8 3 0 ,   J u l .   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . e st . 2 0 2 5 . 1 1 6 8 3 0 .   [ 1 1 ]   Z.   D e n g   a n d   C .   X u ,   F r e q u e n c y   r e g u l a t i o n   o f   p o w e r   sy s t e ms   w i t h   a   w i n d   f a r m   b y   s l i d i n g - mo d e - b a s e d   d e si g n ,”  I E EE/ C A A   J o u rn a l   o f   Au t o m a t i c a   S i n i c a ,   v o l .   9 ,   n o .   1 1 ,   p p .   1 9 8 0 1 9 8 9 ,   N o v .   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / JA S . 2 0 2 2 . 1 0 5 4 0 7 .   [ 1 2 ]   H .   H .   A l h e l o u ,   N .   N a g p a l ,   N .   K a ssa r w a n i ,   a n d   P .   S i a n o ,   D e c e n t r a l i z e d   o p t i m i z e d   i n t e g r a l   sl i d i n g   m o d e - b a s e d   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   f o r   i n t e r c o n n e c t e d   m u l t i - a r e a   p o w e r   sy s t e ms ,   I EEE   Ac c e ss ,   v o l .   1 1 ,   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 3 . 3 2 6 2 7 9 0 .   [ 1 3 ]   Y .   W a n g ,   Y .   L i u ,   X .   Y u ,   a n d   H .   Z h a n g ,   J o i n t e d   o b s e r v e r - b a s e d   s l i d i n g   m o d e   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   f o r   i n t e r c o n n e c t e d   p o w e r   s y s t e m s   w i t h   i n p u t   d e l a y s ,   I E E E   T r a n s a c t i o n s   o n   A u t o m a t i o n   S c i e n c e   a n d   E n g i n e e r i n g ,   v o l .   2 2 ,   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / T A S E . 2 0 2 4 . 3 3 5 3 1 6 6 .   [ 1 4 ]   J.  F e i ,   Y .   C h u ,   a n d   S .   H o u ,   A   b a c k s t e p p i n g   n e u r a l   g l o b a l   s l i d i n g   mo d e   c o n t r o l   u si n g   f u z z y   a p p r o x i m a t o r   f o r   t h r e e - p h a se   a c t i v e   p o w e r   f i l t e r ,   I E EE  A c c e ss ,   v o l .   5 ,   p p .   1 6 0 2 1 1 6 0 3 2 ,   2 0 1 7 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 1 7 . 2 7 3 2 9 9 8 .   [ 1 5 ]   D .   Ef i m o v   a n d   L.   F r i d ma n ,   G l o b a l   sl i d i n g - m o d e   o b s e r v e r   w i t h   a d j u s t e d   g a i n s   f o r   l o c a l l y   L i p s c h i t z   s y s t e ms,   Au t o m a t i c a ,   v o l .   4 7 ,   n o .   3 ,   p p .   5 6 5 5 7 0 ,   M a r .   2 0 1 1 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . a u t o m a t i c a . 2 0 1 0 . 1 2 . 0 0 3 .   [ 1 6 ]   F .   F a r i v a r ,   O .   B a ss ,   a n d   D .   H a b i b i ,   D e c e n t r a l i z e d   d i st u r b a n c e   o b s e r v e r - b a se d   s l i d i n g   mo d e   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   i n   mu l t i a r e a   i n t e r c o n n e c t e d   p o w e r   sy s t e m s ,   I EEE   Ac c e ss ,   v o l .   1 0 ,   p p .   9 2 3 0 7 9 2 3 2 0 ,   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 2 . 3 2 0 1 8 7 3 .   [ 1 7 ]   V .   U t k i n ,   O n   c o n v e r g e n c e   t i me   a n d   d i s t u r b a n c e   r e j e c t i o n   o f   s u p e r - t w i st i n g   c o n t r o l ,   I EE E   T ra n s a c t i o n s   o n   A u t o m a t i c   C o n t r o l v o l .   5 8 ,   n o .   8 ,   p p .   2 0 1 3 2 0 1 7 ,   A u g .   2 0 1 3 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TA C . 2 0 1 3 . 2 2 5 1 8 1 2 .   [ 1 8 ]   A .   Le v a n t ,   H i g h e r - o r d e r   s l i d i n g   m o d e s,   d i f f e r e n t i a t i o n   a n d   o u t p u t - f e e d b a c k   c o n t r o l ,   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   C o n t r o l ,   v o l .   7 6 ,   n o .   9 1 0 ,   p p .   9 2 4 9 4 1 ,   Ja n .   2 0 0 3 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 0 / 0 0 2 0 7 1 7 0 3 1 0 0 0 0 9 9 0 2 9 .   [ 1 9 ]   A .   L e v a n t ,   S l i d i n g   o r d e r   a n d   s l i d i n g   a c c u r a c y   i n   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l ,   I n t e rn a t i o n a l   J o u rn a l   o f   C o n t r o l ,   v o l .   5 8 ,   n o .   6 ,   p p .   1 2 4 7 1 2 6 3 ,   D e c .   1 9 9 3 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 0 / 0 0 2 0 7 1 7 9 3 0 8 9 2 3 0 5 3 .   [ 2 0 ]   M .   K .   S a r k a r ,   A .   D e v ,   P .   A st h a n a ,   a n d   D .   N a r z a r y ,   C h a t t e r i n g   f r e e   r o b u s t   a d a p t i v e   i n t e g r a l   h i g h e r   o r d e r   sl i d i n g   mo d e   c o n t r o l   f o r   l o a d   f r e q u e n c y   p r o b l e ms  i n   m u l t i a r e a   p o w e r   s y st e ms,   I ET  C o n t r o l   T h e o ry  A p p l i c a t i o n s ,   v o l .   1 2 ,   n o .   9 ,   p p .   1 2 1 6 1 2 2 7 ,   Ju n .   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 0 4 9 / i e t - c t a . 2 0 1 7 . 0 7 3 5 .   [ 2 1 ]   J.  G u o ,   T h e   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   b y   a d a p t i v e   h i g h   o r d e r   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l   s t r a t e g y ,”  I E EE  Ac c e ss ,   v o l .   1 0 ,   p p .   2 5 3 9 2 2 5 3 9 9 ,   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 2 . 3 1 5 2 2 5 9 .   [ 2 2 ]   A. - T.   Tr a n   e t   a l . ,   A d a p t i v e   i n t e g r a l   sec o n d o r d e r   sl i d i n g   m o d e   c o n t r o l   d e si g n   f o r   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   o f   l a r g e s c a l e   p o w e r   sy st e m w i t h   c o mm u n i c a t i o n   d e l a y s ,”  C o m p l e x i t y ,   v o l .   2 0 2 1 ,   n o .   1 ,   J a n .   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 1 1 5 5 / 2 0 2 1 / 5 5 6 4 1 8 4 .   [ 2 3 ]   X .   G .   Y a n ,   S .   K .   S p u r g e o n ,   a n d   C .   E d w a r d s ,   S t a t i c   o u t p u t   f e e d b a c k   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l   f o r   t i m e v a r y i n g   d e l a y   s y s t e m s   w i t h   t i m e d e l a y e d   n o n l i n e a r   d i s t u r b a n c e s ,   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   R o b u s t   a n d   N o n l i n e a r   C o n t r o l ,   v o l .   2 0 ,   n o .   7 ,   M a y   2 0 1 0 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 2 / r n c . 1 4 7 0 .   [ 2 4 ]   S .   B o y d ,   L.   E l   G h a o u i ,   E.   F e r o n ,   a n d   V .   B a l a k r i s h n a n ,   Li n e a r   mat r i x   i n e q u a l i t i e i n   s y s t e a n d   c o n t r o l   t h e o r y ,”  L i n e a Ma t ri x   I n e q u a l i t i e s   i n   S y s t e m   a n d   C o n t r o l   T h e o r y ,   1 9 9 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 3 7 / 1 . 9 7 8 1 6 1 1 9 7 0 7 7 7 .   [ 2 5 ]   C. - T.   N g u y e n   a n d   Y . - W .   Tsa i ,   F i n i t e Ti me  o u t p u t   f e e d b a c k   c o n t r o l l e r   b a se d   o n   o b ser v e r   f o r   t h e   t i me‐v a r y i n g   d e l a y e d   s y s t e ms :   a   mo o r e p e n r o se  i n v e r s e   a p p r o a c h ,”  Ma t h e m a t i c a l   Pr o b l e m i n   E n g i n e e ri n g ,   v o l .   2 0 1 7 ,   n o .   1 ,   J a n .   2 0 1 7 ,   d o i :   1 0 . 1 1 5 5 / 2 0 1 7 / 2 8 0 8 0 9 4 .       B I O G RAP H I E S O F   AUTH O RS       Ph a n - T h a n h   Ng u y e n           is  c u rre n tl y   a   lec tu re in   t h e   F a c u l ty   o E lec tri c a a n d   El e c tro n ics   En g in e e rin g ,   Ho   Ch i   M in h   Cit y   Un i v e rsity   o Tec h n o l o g y   a n d   E d u c a ti o n ,   Ho   C h i   M in h   C it y ,   Vie tn a m .   He   o b tai n e d   h is  P h . D.  in   El e c tri c a En g in e e rin g   a S o u t h e rn   Taiwa n   Un iv e rsity   o S c ien c e   a n d   Tec h n o lo g y ,   Taiwa n ,   in   2 0 1 6 .   His   c u rre n re se a rc h   in tere sts  a re   in telli g e n c o n tr o sy ste m s,  a u t o m a ti c   m o ti o n   c o n tr o l ,   a n d   e lec tri c   d riv e s.  He   c a n   b e   c o n tac ted   a t   e m a il th a n h n p @ h c m u te.ed u . v n .         C o n g - T r a n g   N g u y e n           h a s   c o m p l e t e d   t h e   P h . D .   d e g r e e   i n   A u t o m a t i o n   a n d   C o n t r o l   f r o m   Da - Ye h   U n i v e r s i t y ,   T a i w a n .   H e   is   c u r r e n t l y   a   m e m b e r   o f   t h e   P o w e r   S y s t e m   O p t i m i z a t i o n   R e s e a r c h   G r o u p ,   F a c u l t y   o f   E l e c t r ic a l   a n d   E l e c t r o n i c s   E n g i n e e r i n g ,   T o n   D u c   T h a n g   U n i v e r s i t y ,   H o   C h i   M i n h   C i t y ,   V i e t n a m .   H i s   c u r r e n t   r e s e a r c h   i n t e re s t s   i n c l u d e   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l ,   a n d   o p t i m i z a t i o n   a l g o r i t h m .   H e   c a n   b e   c o n t a c t e d   a t   e m a i l :   n g u y e n c o n g t r a n g @ t d t u . e d u . v n .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.